09年全国卷(Ⅱ)理科压轴题“深度解析”

作者:马文杰;罗增儒 刊名:中学数学研究(高中版) 上传者:赵敏茜

【摘要】本文以09年全国卷(Ⅱ)理科压轴题(第22题)作为基本素材,对其进行全方位,多角度分析,供大家中在教学中参考.原题如下:

全文阅读

2009年第9期 中学数学研究 09年全国卷(Ⅱ)理科压轴题“深度解析" 陕西师范大学数学与信息科学学院 (西安,710062) 马文杰 罗增儒 本文以09年全国卷(I)理科压轴题(第 22 题)作为基本素材,对其进行全方位,多角度分析, 供大家中在教学中参考.原题如下: 例1(o9年全国卷(Ⅱ)理科第22题) 设函数 ) = +aln(1+X)有两个极值点Xl、X2,且 l< 2. (I)求 n的取值范围,并讨论 X)的单调性; (II)证明 )> . 1 确定a的取值范围的五种解法 思路一厂( )=2 + = 兰 ·+ 一-4-”+ “-4-一-4-.—+-“+ + ”+ ”+ 一+ ”—·卜 一-4-一—卜一—-+-一—·卜 一—·卜 ”—· 纳的储备金数目口 ,a ,⋯是一个公差为d的等差数 列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用 固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利 率为r(r>0),那么,在第 n年末,第一年所交纳的 储备金就变为n。(1+r) ,第二年所交纳的储备金 就变为n!(1+r) ,⋯.以 表示到第 n年末所累 计的储备金总额. (I)写出 与 T (n≥2)的递推关系式; (1I)求证: =A +B ,其中{A }是一个等比 数列,{B }是一个等差数列. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概 念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立 数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实 际问题的能力. 解:(I)我f『]有 = 一。(1+r)+Ⅱ (n≥2). (1I)T =a。,对n≥2反复使用上述关系式,得 = — l(1+r)+8 = 一2(1+r) +a 一l(1+r) +n = ⋯ =口1(1+厂) _。+a2(1+r) 一 +⋯ + a (1+r)+a ,①.在①式两端同乘1+r,得(1+ r) =al(1+r) +n:(1+r) -1+⋯ +a 一l(1+r) +n (1+,),②.② 一①,得 : (1+,)n— r 导n一! .如果记 : (1+,) ,B : 一 一 导 ,则 :A +B .其中t a }是以 ( >一1). 令g(x)=2x +2 +0,其对称轴为 =一1/2, 由题意知 、 :是方程g( )=0的两个均大于 一1 的不相等的实根,其充要条件为{ (二:)一:8a。>0。, 得 0<a<1/2. 思路二 由厂( )=0得2 +2 +a=0( >一1).即0:一2x 一2x( >一1).如图1其顶点 坐标为(一1/2,1/2),易知当0<a<1/2时,存在两 个不同的实数 (X>一1).使得 o=一2 一2 ( >一 1 . -+ 一+ *+ -+ -+ 一+ --'4,-. (1+ )为首项,以1+,(,>0)为公比的等 r 比数列;{ }是以一 一 为首项,一 为公 r r , 差的等差数列. 三、2010年高考预测 1、数列中5 与0 的关系一直是高考的热点,求 数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意 S 与a 的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考 试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项”.但实际上, 从近两年各地高考试题来看,是加大了对“递推公 式”的考查. 2、探索性问题在数列中考查较多,试题没有给 出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证 明.探索性问题对分析问题解

参考文献

引证文献

问答

我要提问