解析几何中探究型定值问题的求解策略

作者:张惠民 刊名:数学通讯:教师阅读 上传者:傅求林

【摘要】探究在什么条件下,才能使某个对象为定值.解析几何中的这类探究型定值问题,由于条件与定值均需探究,对考生分析问题和解决问题的能力提出了更高的要求.此类问题往往归结为一个多元函数问题,求解必须突破三个难点:一是在该表达式涉及的多个变量中,抓住问题的主要矛盾,正确辨认主元与辅元;

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· 复习参考· 数 学通讯 一 20o9年第 8期(下半月) 31 解析几何中探究型定值问题的求解策略 张惠民 (浙江省绍兴县教师发展中心,3l203o) 探究在什么条件下,才能使某个对象为定 值.解析几何中的这类探究型定值问题,由于 条件与定值均需探究 ,对考生分析问题和解决 问题的能力提出了更高的要求 .此类问题往往 归结为一个多元函数问题 ,求解必须突破三个 难点:一是在该表达式涉及的多个变量中,抓 住问题的主要矛盾,正确辨认主元与辅元;二 是确定该表达式关于主元的函数类型;三是根 据函数类型分析使表达式为定值的条件,有时 还可取特殊值建立方程.这三个步骤环环紧 扣 ,是解决探究型定值问题的基本求解策略. 例 1 (2007年湖南数学高考理科试题) 过双曲线 2一 2=2右焦点 F的动直线与双 曲线相交于A,B两点.在 轴上是否存在定 点c,使 ·商 为常数?若存在,求出点c的 坐标;若不存在,请说明理由. 分析 l 由条件知 F(2,O),设 ( l, 1), B( 2,_),2).假设在 z轴上存在定点C( ,O), 使蔬 .魂 为常数. 当 AB不与 轴垂直时,设直线 AB的方 程是 :志( 一2)( ≠ ±1),代入 z 一 : 2,得(1一志 ) +4 2z一(4愚 +2)=0.所 以 镨 测商= zlf 2 ,zl 2 ,则 ‘ (zl— )( 2一 )十足 (zl一2)( 2—2)= (忌 +1) l 2一( +2愚 )( l+ 2)+ + 4 一 。 +4忌 : + 2 . 因为 ·商 是与七无关的常数,所以 : ,解得 :1,此时 .历 : 一 上. 当 AB上z轴时,点 A,B的坐标分别为 (2, ),(2,一 ),对于点c(1,0),同样有荫 . = 一1. ‘ 综上 ,在 z轴上存在定点c(1,0),使 · 菌 为常数一1. 评注 (1) ·蔬 = + 中,七为主元, 是待定的参变量. (2)函数,(足)=筹荨 十 ( ≠0)为 常数,则有导=导. L ‘‘ 分析2 舾 西 = + m 2 , ‘ 当 =0时,荫 ·商 = 2—2;当 2=2 时。 . 杰= 2—8 十6. 因为荫 ·商 = 是 与 足无关的常数,所 以 —2: 一8 +6, 解得 =1,将 =1代人 .‘葫 = + 得,荫 ·商 :一l(定 值). 评注 依题意,当主元分别取两个特殊值 时,对应的两个函数值应相等,由此得出辅元 应符合什么条件的猜想,并验证此猜想下所求 表达式确为定值. 分析 3 设 ·苟 的定值为f,即 L二 + 2= , 贝0(mz一4,”一z+ 2)足2一Ⅲ +£+2:0对 任 意 的 是恒 成 立,则 32 数学通讯 一 20o9年第 8期(下半月) .复习参考. m _1 一:+ o,解得 。 , ,解得 ,即定点 【 一m +£+2—0 【£.: 一1 。’ 为 C(1,0),定值为 一1. 评注 函数 (志)= 十 +f=0对任 意的 恒成立,则有 口=6=c=0. 弓I申 可能是出于控制试题难度上的考 虑,考题中将点 C的探究范围限定在 轴上. 那么平面直角坐标系中,使荫 -苟 为常数的 点C唯一吗7 . 设点 C的坐标为一般形式 ( , ),则有 ·历 = (过 程 略 ).上 式 对 任 何 足 为 常 数,则 0 2 ,解得 0 , . : : 解 得 ,此时商 ·商 + 1: _1. 当 AB上z轴时 ,结论也成立. 故存在唯一的定点 c(1,0),使 . 为 常数. 评注 函数 ,(忌)= ( ≠0) f6

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