随机环境中两性分枝过程的极限性质

作者:李应求;胡杨利;张影 刊名:中国科学:数学 上传者:寇福明

【摘要】在随机环境两性分枝过程中,本文引入每个配对单元的条件均值增长率,讨论它的性质,得到了过程的条件均值的上、下界,研究了过程由此上、下界规范化后的极限性质.特别地,本文还研究了各代雄性、雌性个体数适当规范化后的极限性质,建立了过程与各代雄性、雌性个体数规范化后的等价定理.

全文阅读

1引言为了更精确地描述生物、物理和化学中的人口模型,Daley于1968年引入了两性分枝过程.这个模型得到了广泛关注,许多学者探讨了它的灭绝概率、极限性质和统计推断等问题(参见文献[14]).最近,为了描述更复杂的有性别的物种模型,一些改进的两性分枝过程模型被引进来,如具有迁入的两性分枝过程[5]、配对依赖人口数的两性分枝过程[6]、变化环境中两性分枝过程[7]和随机环境中两性分枝过程[8].特别地,文献[8]引入了后代分布随着随机环境变化的随机环境中两性分枝过程,得到了有关该模型的概率母函数的结论和必然或非必然灭绝的充分条件.这个模型的生物背景与分枝过程的生物背景相同[9,11,12],如某些物种的发展繁衍常常受天气条件和食物供给等环境因素的影响.本文继续研究这个两性分枝模型.第2节给出模型的数学定义;第3节引进配对单元的条件均值增长率,讨论相关性质,得到了随机环境中两性分枝过程条件均值的上、下界;第4节以此上、下界为规范化因子,分别研究过程规范化后的极限性质,也给出了几乎处处收敛和L1-收敛到非退化到0的随机变量的条件;第5节将过程条件均值的上、下界稍作修改,来作为各代雌性、雄性个体数的规范化因子,讨论雌性、雄性个体数规范化后的极限性质,特别是给出了过程与雌性(雄性)个体数规范化后L1-收敛的等价定理.2模型的描述设(?,F,P)是概率空间,(,)是可测空间,N={0,1,2,...},N+={1,2,...}.假设配对函数L: NNN关于每个自变量是单调非降的,且对任意的x,yN,L(0,y)=L(x,0)=0.设?={n,n=0,1,...}是列(?,F,P)到(,)的随机映射;对任意固定的,{pj(),j=0,1,...}是概率分布列.2006年,Ma[8]将两性分枝过程推广到了随机环境中.定义2.1设{Zn,n=0,1,...}是满足下列条件的随机过程,(i)Z0=1,(Fn+1,Mn+1)=Zni=1(fni,mni),Zn+1=L(Fn+1,Mn+1),nN;(ii)P(fni+mni=j|?)=pj(n),n,jN,iN+;(iii)P(fni=jni,mni=kni,0nl,1im|?)=ln=0mi=1P(fni=jni,mni=kni|n),jni,kniN,lN,mN+,其中给定?,对任意固定的nN,第n代配对单元产生的第n+1代个体以概率(n)为雌性、1-(n)为雄性,而(n)是根据n在[0,1]上取值的变量,称?Z={Zn,n=0,1,...}是随机环境?中两性分枝过程.在定义2.1中,(fni,mni)是(?,F,P)到NN的随机映射,表示第n代第i个配对单元产生的雌性、雄性后代个体数;(Fn,Mn)表示第n代所有雌性、雄性个体数,它们生成n代配对单元数Zn=L(Fn,Mn).由条件(iii)可得,给定?,各代各配对单元产生的雌性、雄性后代个体数相互独立,而只与各自“父辈”的环境有关.定义2.2称配对函数L是上可加的,若对kN+,L(ki=0(xi,yi))ki=0L(xi,yi),xi,yiN.(2.1)注2.3k组个体混在一起可增加不同组的个体配对的机会,那么就更容易配对成功,所以,k组个体混合配对比k组个体各自配对得到的配对单元数会更多.因此,(2.1)中配对函数的上可加性是一个合理的条件.事实上,不仅在两性分枝过程中,在其他两性人口模型中,配对函数通常也被要求是上可加的(参见文献[1]).令Fn(?)=(Z0,Z1,...,Zn;?),nN.全文假设:对任意的x,yN,L(x,y)与{Fn(?),nN}相互

参考文献

引证文献

问答

我要提问