随机环境中可迁移两性分枝过程的极限性质(无全文)

作者:宋明珠;吴永锋;胡守鹏 刊名:浙江大学学报(理学版) 上传者:陈海峰

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【摘要】在独立同分布的随机环境下,建立了可迁移的两性分枝过程模型,其迁移人口数依赖当前人口数,证得此两性分枝过程是随机环境中的马氏链,并得到了第n代每个配对单元平均增长率的极限性质,从而推广了经典两性分枝过程的相关理论.

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0引言为了更精确地描述某种生物的人口模型,1968年DALEY首次引入了两性分枝过程的模型[1],引起概率论学者的广泛关注和深入研究[2-4].由于自然界生物繁衍过程受自然和社会环境等因素的影响,作为两性分枝过程和随机环境中分枝过程的自然推广,马世霞[5-6]将两性分枝过程引入到随机环境中,随后众多学者对此过程展开了研究,得到了一系列有价值的结果.为逼真地描述两性生物繁衍的规律,本文将从环境和人口迁移角度,建立随机环境中可迁移两性分枝过程的模型,其迁移人口数依赖当前人口数,得到此类两性分枝过程是随机环境中的马氏链这一结论,以及第n代每个配对单元平均增长率的极限性质,推广了经典两性分枝过程的相关理论.设(,F,P)是一概率空间,(,B)为一可测空间,N+表示非负整数集,设X={Xnn=0,1,…}是(,F,P)上取值于N+的随机序列.{P(;,):}是N2+上的一族转移函数,假定对任意的A,P(,;,A)关于是可测的.配对函数L(,)是定义在N2+上取值于N+的二元函数,对每个分量都是非减的且L(x,y)xy.环境序列={nn=0,1,2,…}和{(Fn,Mn)}n1是定义在(,F,P)上分别取值于(,B)和N2+的随机序列,{(fn,i,mn,i)},i1是在给定环境n下取值于N2+的独立同分布二维随机变量序列.人口迁移序列{I(k)n}n0与{(fn,i,mn,i)}i1独立且为取值于N+的随机变量序列.定义1若{Zn}n0满足Z0=N,NN+,(Fn+1,Mn+1)=Zni=1(fn,i,mn,i),Zn+1=L(Fn+1,Mn+1)+I(L(Fn+1,Mn+1))n+1烅烄烆,则称{Zn}n0是随机环境中可迁移的两性分枝过程,其中,fn,i和mn,i分别表示第n代的第i个配对单元在环境n下生成的雌性和雄性个体数;Fn+1和Mn+1分别表示第n代所有配对生成的雌性和雄性个体总数.I(L(Fn+1,Mn+1))n+1表示第n+1代迁移的配对数且迁移配对数受当前人口数的影响,配对函数L(,)和迁移配对数形成第n+1代的Zn+1个配对.定义2如果对任意的x,nN+,有P(X0=x|)=P(X0=x|0),P(Xn+1=x|Xn0,)=P(n;Xn,x),则称X是随机环境中的马氏链.定义3对于随机环境中可迁移两性分枝过程{Zn}n0称为上可加的,若其配对函数是上可加的,即Lni=1(xi,yi())ni=1L(xi,yi),xi,yiR+,n=1,2,….定义4对于随机环境中可迁移的两性分枝过程{Zn}n0,当第n代配对单元数为正整数k,环境n=时,定义第n代每个配对单元的平均增长率为rk,=1kE(Zn+1|Zn=k,n=).记Fn()=(Z0,Z1,…,Zn,0,1,…),qj=(I(k)n=j),pk,l(n)=P(fn,i=k,mn,i=l|n).假定对任意的x,yN+,L(x,y)与Fn()独立,约定文中涉及的随机变量的数学期望均存在.1马氏性引理1对任意的A,BF,(,B),若P(B|)>0,则P(A|B)=P(AB|)P(B|).定理1{Zn}n0是随机环境中的马氏链,其一步转移概率为P(n;i,j)=P(Lik=1(fn,k,mn,k())+In+1Lik=1(fn,k,mn(,k)())=j).证明由{Zn}n0的定义可知P(Z0=N|)=P(Z0=N|0).由引理1和{Zn}n0的定义以及由L(x,y)与Fn()是相互独立的可得,对于任意的i1,i2,…,in-1,iN+,有P(Zn+1=j|Z1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=

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