基于自适应卡尔曼滤波的高层建筑物沉降预测模型研究

作者:陈慧香;孙蕾 刊名:北京测绘 上传者:赖德辉

【摘要】由于传统卡尔曼滤波处理实时动态数据中所建立的数学模型不精确或动态噪声特性不准确,导致状态估计失真,甚至导致滤波发散的现象。为了提高高层建筑物沉降监测实时预测的准确性与可靠性,克服传统卡尔曼滤波进行沉降预测中噪声的不足,本文采用方差补偿自适应卡尔曼滤波理论进行分析预测,并通过实测数据对比分析,验证了方差补偿自适应卡尔曼滤滤波理论进行沉降预测的可行性,且预测精度较高。

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1引言目前,随着高层建筑物日益增多,高层建筑物沉降监测已成为人们关注的焦点,及时、准确地对高层建筑物进行变形预报意义重大。其中卡尔曼滤波作为当前应用最广的一种动态数据处理方法,其应用越来越广泛。目前在变形监测数据处理中,特别在GPS动态数据处理方面,卡尔曼滤波理论也得到了广泛的应用。[1,2]马攀[3]首次提出基于小波分析的卡尔曼滤波动态变形分析模型,研究其参数设计和算法;邓跃进[4]介绍了卡尔曼滤波技术的基本思想,给出了自适应卡尔曼滤波动态噪声方差阵补偿法的计算公式,以及在变形监测动态数据处理中的应用;强明辉[5]等利用自适应卡尔曼滤波用于应变模态指标的信号处理中,根据桥梁检测信号的特征建立自适应动态滤波模型,并用该模型对甘肃某大桥的实际应变监测数据进行仿真。卡尔曼滤波动态模型是用一组状态方程和观测方程描述动态系统,把参数估计和预报有机结合起来,是一种较好的用来处理实时动态数据的方法。[6]但该模型要求已知系统状态方程、观测方程及其统计特性,如果使用错误的数学模型或者不准确的噪声统计特性,就会导致状态估计不可信,产生发散现象。克服发散有多种方法,较常用的一种为自适应卡尔曼滤波方法,其目的是,在利用观测数据进行滤波的同时,实时地对未知的或不确切知道的系统模型参数和噪声的统计特性进行适当的估计与修正,以减弱模型误差的影响,使滤波结果更趋向于实际。[7,8,9]本文采用自适应卡尔曼滤波的方差补偿法,在滤波过程中利用已有信息对动态噪声方差矩阵进行实时估计,以补偿滤波中对动态噪声方差或协方差的不足。2基本模型2.1卡尔曼滤波首先假设随机离散线性系统状态方程和观测方程为:Xk=k,k-1Xk-1+k-1Wk-1Zk=HkXk+Vk烅烄烆式中:Xk、Zk、Hk、Vk为k时刻系统的状态向量、观测向量、观测矩阵和观测噪声,k,k-1、k-1、Wk-1为k-1到k时刻系统的状态转移矩阵、动态噪声矩阵、动态噪声。假定动态噪声Wk和观测噪声Vk是互不相关的高斯白噪声序列,有以下条件:E[Wk]=0E[Vk]=0Cov[Wk,Vj]=E[WkVTj]=0Cov[Wk,Wj]=E[WkWTj]=QkkjCov[vk,Vj]=E[VkVTj]=Rkkj其中,Qk是动态噪声Wk的协方差矩阵,Rk是观测噪声Vk的协方差矩阵,kj是Kronecker函数,有:kj=1,k=j0,k{j根据最小二乘原则,可以根据下面方程实现用Xk来估计最优滤波值:状态向量一步预测:Xk,k-1=k,k-1Xk-1状态向量一步预测误差协方差阵:Pk,k-1=k,k-1Pk-1Tk,k-1+k,k-1Qk-1Tk,k-1状态向量估计方程:Xk=Xk,k-1+Kk(Zk-HkXk,k-1)滤波增益矩阵方程:Kk=Pk,k-1HTk(HkPk,k-1HTK+Rk)-1状态估计误差协方差阵方程:Pk=(I-KkHk)Pk,k-1(I-KkHk)T+KkRkKTk以上即为卡尔曼滤波基本方程,如果给定初值X^0和P0,根据k时刻的观测值Zk即可递推得到k时刻的状态估计X^kk(=1,2,…)。2.2方差补偿自适应卡尔曼滤波假定动态噪声{k}和观测噪声{k}为正态序列,X0正态向量,定义l步预测剩余为Vk+l=Lk+l-L^k+l/l其中,Lk+l、L^k+l/l分别为第k+l其观测值和最佳观测值,其中L^k+l/l=Hk+lFk+l/kX^k则Vk+l为正态向量。方差矩阵vv为vv=Hk+lFk+l/kPkFTk+l/kHTk+l+Rk+l+li=1Hk+lFk+l/k+iGk+l/k+i-1Qk+i-1GTk

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