随机环境中依赖年龄的分枝过程

作者:李应求;刘全升 刊名:中国科学(A辑:数学) 上传者:赵宏伟

【摘要】考虑随机环境中依赖年龄的分枝过程.环境ξ=(ξ_0,ξ_1,…)是平稳遍历的随机变量序列.给定环境ξ,该过程是非齐次的Galton-Watson过程,第n代粒子的寿命分布为R_+上的概率分布G(ξ_n),每个粒子根据N上的概率分布p(ξ_n)独立地产生后代.令Z(t)表示t时刻存活的粒子数.首先,以一个函数方程给出了在环境ξ下Z(t)的条件概率母函数的性质;通过与一个嵌入分枝过程作比较,得到了过程几乎必然灭绝的判别准则.然后,得到条件均值E_ξZ(t)和整体均值EZ(t)的表达式,并通过研究随机环境中的更新过程,给出了两均值的指数增长率.

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1引言、模型描述在Galtoll-W叔tsoll过程中,每个粒子根据同一个给定的分布独立地产生后代,并且假定所有粒子的寿命都是一个单位时间.为更精确地描述某些生物、物理化学中的人口模型,Bellmall和Harris(见文献11一31)引入了依赖年龄的分枝过程(也称为Bellmall一Harris过程),其中每个粒子的寿命是随机的,但是同分布.很多文献中讨论了此类过程,如文献[4一11}.作为Galton-W叔tson过程的推广,Smith,Wilkinson[‘2]和Athreya,Karlin[‘3]提出了后代分布随环境变化的模型,称为随机环境中的分枝过程;许多学者研究了此类过程及相关模型,详见文献114一201及其后的参考文献.作为依赖年龄分枝过程的自然推广,本文引入随机环境中依赖年龄的分枝过程,其后代分布和寿命分布都随环境变化.令茗一{氛;二)0}是在某可测空间(0,B)上取值的平稳遍历的随机变量序列.不失一般性,我们假定氛是定义在乘积空间(ON,BN,司上的坐标函数,其中7T是茗的分布,它在通常的。一ON上的推移变换T佰。,茗,,…)一佰,,茗2,…)下是不变和遍历的.序列茗称李应求等:随机环境中依赖年龄的分枝过程为环境.令抓印一伽、(印:无)0}和侧印是定义在0上的可测映射,取值分别是N和R十一[0,二)(被赋予Borela一代数)上的概率分布.我们定义随机环境中依赖年龄的分枝过程如下:给定环境茗一(氛),该过程是定义在某概率空间(A,几)(可取A为带标签的树空间,参见文献[211)上的非齐次的依赖年龄的分枝过程.它始于第。代的单个粒子0.初始粒子O的寿命为L。一侧茗。),其分布为‘。一侧茗。);它将被下一代的踢个粒子取代,踢的概率母函数为九(s)一又建。尹、(茗。)s凡(lsl毛l)一般地,第二代的粒子。一。,…。。的寿命为L、,其分布为‘。一‘(氛);它将被下一代的戈个粒子取代,戈的概率母函数为川s)一艺川引护,lsl刹(1)对给定的环境茗,随机变量L、与戈关于几相互独立.总概率空间表示为(。/A,尸),其中尸一j乓几而((),即对任意的正的可测函数从了、(;,)dP(;,卜了了、(;,)。()而(;)通常记尸一几7T,称几为淬火分布(quellchedlaw),尸为退火分布(allllealedlaw).几可看作给定环境茗下尸的条件概率.关于几的条件均值记为乓.关于7T或尸的均值用同样的记号E(根据上下文不会混淆).设侧句为,时刻存活的粒子数,我们称{Z川}:)。为随机环境茗中依赖年龄的分枝过程.若寿命分布‘。是在1处的Dirac测度,则{侧二)}就是通常的随机环境中的分枝过程.对二)0,设几为第二代所有粒子的集合,肛几)为它的元素个数,I一日准。几为家族树,则{廿(几)}是概率母函数为(人)的随机环境中的Galtoll一Watsoll过程,我们称之为(Z(句)的嵌入分枝过程.记1吧二的正部(负部)为1吧十二(1吧一劝.对一个实值随机变量x,当我们用记号Ex时,就假定它已定义好,但可能为+二或一二.对于“单增”和“单减”,若不加特别说明,我们使用广义含义.22(约的条件概率母函数作为中的不动点在这一节,利用侧句的自然分解,我们首先证明侧句的条件概率母函数满足一个积分函数方程,然后证明它是某一相关变换中在以1为界的可测函数类上的唯一的不动点,且可通过对中的迭代,由任意的初始函数凡得到.2.12(亡)的分解若,0,使得El吧尽。(司<0.由遍历定理,a.、.有lim叽一一)二义二王夕lo:、、间一E109尽。(。),,则彭哟(t)一

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