三角形内角平分线性质定理在解高考题中的应用

作者:刘克忠 刊名:数学学习与研究:教研版 上传者:岳钦杨

【摘要】在近年的高考题中,以三角形内角平分线为条件的题目常有出现,受到命题者的青睐,而且常考常新.在命题时,会将三角形内角平分线性质定理融入许多知识点中,本文主要探讨运用相关定理,简化运算.

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尊 。 ●.-l, ● ● 解题 技巧 与 方法 船 善 惫晋 分线懂质定理鹿解高考题 中 庶 ◎刘克忠 (陕西省榆林市横 山区横山 中学 ,陕西 榆林 719100) 【摘要】在近年的高考题中,以三角形内角平分线为条 件 的题 目常有 出现,受到命 题者 的青 睐,而且 常考 常新.在 命题时,会将三角形 内角平分线性质定理融入许多知识点 中,本文主要探讨运用相关定理 ,简化运算. 【关键词】三角形内角平分线;平分线定理;高考解题 对于以三角形内角平分线为条件的题 曰,用代数方法 求解 比较复杂 ,而巧妙利用三角形 内角平 分线性 质定理 ,能 使计算简化 、思 路 简洁 ,从 而在 考试 过 程 中节 约 出宝 贵 的 时 间. 定理 三角形 的内角平分线分 对边所得 的两条线段 与 这个三角形的两边对应成比例. 如图,在 AABC中,AD平分/BAC, AD交 口c于 D,则 AB= BD . 应用 : 一 、 征 觯 = 角 彤 甲 的 应 用 例 1 (2015年全 国卷 II文理 17)AABC中 D是 BC上 的点 ,AD平分 /_BAC,BD=2DC. (I) .si ⋯ nB ; sln(~ (1I)若 BAC=60。,求 B. 解 析 (I)~ AABC中,根据jE弦,,~⋯t —s i in n B c : AC ,再 根 据三角形 内角平分线 性质 定理 ‘Ⅱ-J侍 AC= 曰 D D C , 已知 BD= 2Dc所 以 = 1 ⋯ . 1lS i in B c=吉. (Ⅱ)略. 二、在平面 向量 中的应用 例2 (2010年大纲全国卷 II理 8)AABC中,点 D在 边AB上,CD~(zJ-Z_ABC,若商 :口, CA:b,laI:1,Ibl:2, 则商 — — . A÷ + B÷ + c. 3 了4 D . 4 了3 6 解 析 根据 三角形 内角 平分线 性质定 理可得 , IC Af= 丽IADI:2,所以 = , 于 是 , = + =- -.4.+ 2 = + ( 一 CA)= +手( 一 =了2 +÷ .故 三 、在 解 析 几 何 中 的应 用 例 3 (2011年全 国卷 1理 15)已知 ,F2分别为双 曲 线c:等~ =l的左、右焦点一点/}e c,点M的坐标为(2, 0),AM 为/F AF2的平分线,则 I1tF2I=— — ——. 解析 根据双曲线的方程等一 27一:1知,F·(一6·0), F2(6,0),lMF.I=8,IMF2 I=4,再根 据j三角 形 内角平分 线 性质定理得而IF]AI = = 8 ,所 以 ,IA I:2IA I,点 A在双曲线 的右支 L,IAFI l—lAF2 I=6,所 以 ,IAF2 I=6. 例4 (2010年安徽文 17)已知椭圆E经过点A(2,3), 对称 轴为坐标轴,焦点 , 在 轴上,离心率 = 1 . (1)求椭 圆 E的方程 ; (1I)求 F AF2的角平 分线所在直线 l的方程. 解析 (I x 1· (Ⅱ)由(I)知 ,F (一2,0),F:(2,0),于是 ,iAF l=5, I,4F2 I=3.设 F A 的平分线 轴交于点 M.根据三角 形 内角 平 分 线性 质 定 理 可 得 IF , I M÷= =~},所以, IF。MI=÷IF:MI,得M(÷,0), 此, =2,所以所求直 线方程 为 y=2x—1. 例 5 (2015年福建文 19)已知点 F 为抛 物线 :y2:2p~(p>O)的焦 点,点 A(2,m)在抛物线E

参考文献

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