向量形式的三角形内角平分线的性质及应用

作者:王俊艳 刊名:数学学习与研究:教研版 上传者:江琳

【摘要】本文引用了向量这一工具,给出了向量形式的三角形内角平分线的三个性质,并举例说明了这三个性质在解题方面的应用.

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· 鞋 解题 技巧 与方法 赢⋯卿 畴 毋 ~ ⋯ 瞻 毋 。 量穆裁鳓 渤 番分线 健属履麈 ◎王俊艳 (青海师范大学,青海 西宁 810008) 【摘要】本文引用了向量这一工具,给出了向量形式的 三角形 内角平分 线 的三个性质 ,并举 例说 明 了这 三个 性质 在解 题方面的应用. 【关键词】三角形;单位向量;内角平分线 一 、 向量形式 的三角形 内角 平分 线的性质 性质 1 在 AABC中 , 是 /_ABC的 角平 分线 的充 要 条件为:存在正实数 ,使得 = ( + ). 性质 2 AABC ,AD 平分 sac,则 = (即三角形内角平分线定理). 性质 3 若 AD是AABC中厶4的角平分线,则有 _主 IACI·AB+lABI·AC AI) = —— ——— —— = 莘 — ——— —: —— ——一 . IA I+ lA I 二 、相 关 应 用 例 1 如 图 1所 示,经 过 /_XOY 的角平分 线上 的点 A,任 作 一直 线与 OX和 OY分 别 交 于 P 和 Q,求 证 : 0 1 +南为定值. 图l 证明 过 点 A作 OA的 垂线 (唯 一 性)交 OX和 OY于 R和 S,则AORS是等腰三角形,则有 2 : + : + . 1 OPI l OQl 由于 P, 三点共线 ,所 以 + -2’ 而 l l:I I(定值 ), 所以可得 + = ,即 1+南为定值. 例 1 如 图 2所 示,AABC中, D和 E分别在 A 和 AC上 ,且 BD= CE,M 和 Ⅳ 分 别 是 BC和 DE 的 中 曰 点,那 么 NM 与 A 的角 平分 线 AT 平行. 证 明 设 DB:mAB,EC=nAC, 由 BD=凹 得 = = BT , 图 2 : + : + L赢 : + Lf 一 ) 凡 十 m n 4-m = + , 十 m n 十 m 即有 :—,. +—na--d : : . m 4- 17, m 十 n m 4- n 所 以 NM 与 AT平行. 例 3 如图3所示,在AABC中,AD为 中线,AE为角平 分 线, 平行 交 AD 于 F,求证 :CFiAE. C l玺I 3 证明 由 为角平分线及性质 3可知 — lA雪IAC+IACIAB A E = ————= —————= }——一 . 1A l+ IA I 由 AD为 中线 可得 : ( + ), 又 因为 Ac平行于 ,所 以, AF:历CE= = 2 AC . 从而 = = ( + ), 则有 = +a-k= , · = ( + )· ( ABI IA CI一 IABI ), \l + +lACI 则 . :0,所 以 CF_I_AE. 三 、总 结 本文通过对 向量 形式 的角平 分线 的性 质 的研 究 ,给 出 了其在解题方 面 的应 用 ,可 以看 出运用 角平 分线 的 向量 形 式可以很好地解决与角平分线有关的几何问题,这就为我 们 解 题 带 来 了方 便 . 【参考文献】 [1]丁益民.角平分线的一种向量形式及其应用[J].数 学通讯 ,2011(13):19. [2]黄浩志.利用“单位 向量”特性破解一类数学问题 [J].河北理科教学研究,2011(06):11. [3]玉邴图.向量与三角形的角平分线[J].高中数学教 与学,2007(10):11. 数学学 习与研究 2017 1 1

参考文献

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