规范正交化的向量矩阵法

资源类型:pdf 资源大小:337.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:张瑜

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文档信息

【作者】 熊德之 

【关键词】Gram矩阵 向量矩阵 初等行变换 

【出版日期】2005-04-30

【摘要】通过讨论得到利用向量矩阵的初等行变换和将线性无关向量组进行规范正交化的两种方法.这两种方法简捷、易行.

【刊名】武汉化工学院学报

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1 利用Gram向量矩阵规范正交化设a1,a2,…an是Euclid空间V的一线性无关列向量组,它的Gram矩阵为A=(a1,a1)(a1,a2)…(a1,an)(a2,a1)(a2,a2)…(a2,an)…………………………(an,a1)(an,a2)…(an,an)=Δa11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann定义1 设a1,a2,…an是Euclid空间V的一线性无关列向量组,则称A~=(a1,a1)(a1,a2)…(a1,an)aT1(a2,a1)(a2,a2)…(a2,an)aT2……………………………(an,a1)(an,a2)…(an,an)aTn是向量a1,a2,…an对应的Gram向量矩阵.向量矩阵作初等变换时,规定aTi当作一个元素并按向量的运算规则进行运算.因为A是n阶正定矩阵[1],所以存在可逆阵C,使CTAC=E.令P=(p1,p2,…,pn)=(a1,a2,…an)C=ΔLC,(1)由于PTP=CTLTLC=CTAC=E,因此p1,p2,…,pn是规范正交向量组.如果寻找到可逆阵C,由(1)就可得到规范正交向量组p1,p2,…,pn.定理1 设A是n阶正定矩阵,则存在n阶第三种初等矩阵MTij(k)[2](i<j)的乘积矩阵Q,使得QTAQ=c1c2cn(2)证 当n=1时,定理显然成立.假设n-1阶正定阵时定理成立,当A是n阶正定阵时,取n阶第三种初等矩阵MTij-a1ja11(j=2,3…,n)的乘积矩阵Qn=1-a12a11…-a1na1101…0………00…1,于是有[3]QTnAQn=a110…00 …B0这里B=b22…b2n … …bn2…bnn=a22-a212a11…a2n-a12a1na11  ……an2-a12a1na11…ann-a21na11是n-1阶对称阵,它的k-1(k=2,3,…,n)阶顺序主子式为b22…b2k … …bk2…bkk=a22-a212a11…a2k-a12a1ka11  ……ak2-a12a1ka11…akk-a21ka11=  1a11a11a12…a1ka21a22…a2k…………ak1ak2…akk>0上面最后一个行列式的第一列依次乘以-a12a11,…,-a1ka11加到第2,3,…,k列,就可得到前一个行列式,因此B是正定阵.由归纳假设,存在n-1阶第三种初等矩阵MTij(k)(i<j)的乘积矩阵Rn-1,使得RTn-1BRn-1=c2c3cn取Rn=10…00 …Rn-10则有RTnQTnAQnRn=a11c2cn令Q=QnRn,c1=a11,于是有QTAQ=c1c2cn由A正定知ci>0,i=1,2,…,n.对(2)继续进行合同变换,可将A化为单位阵,令  Un=c1cn则UTnQTAQUn=所以得C=QUn.由于Q是n阶第三种初等矩阵MTij(k)(i<j)的乘积,于是可得QTA=c1*c2cnUTnQTA=CTA=c1c2*cn综上讨论,将Gram向量矩阵A~=(A …LT)经过第三种初等行变换rj+kri[4](i<j),即左乘倍加阵Mij(k)(i<j),把A化为右上三角形矩阵QTA后,再将向量矩阵的第i行乘以1/ci(i=1,2,…,n).则右边的矩阵LT就变成了PT,从而得P.即(A …LT)→QT(A …LT)→UTnQT(A …LT)=  (CTA …CTLT)=(CTA …PT)此方法比文献[5]和[6]中的方法更简便,可以直接得到规范正交向量组.例1 设a1=(1,2,-1)T,a2=(-1,3,1)T,a3=(4,-1,0)T试将a1,a2,a3规范正交化.解A~=64212-1411-7-1312-7174-10Mij(k)(i<j)64212-10253-253-535353008202Mi(k)626363626-16053-53-133300812012所以P1=16(1,2,-1)T,P2=13(-1,1,1)T,P3=12(1,0,1)T.2 利用减列Gram向量矩阵正交化定义2 设a1,a2,…an是Euclid空间V的一线性无关列向量组,则称A~(-)=(a1,a1)(a1,a2)…(a1,an-1)aT1(a2,a1)(a2,a2)…(a2,an-1)aT2……………………………(an,a1)(an,a2)…(an,an-1)aTn58是向量a1,a2,…an对应的减列Gram向量矩阵.把aTi当作一个元素时,A~(-)的行列式|A~(-)|称为向量行列式.设Δk是Gram矩阵A的第k阶顺序主子式(k=1,2,…,n),Aik是Δk的第i行k列的代数余子式(i=1,2,3,…,k).这里Δ1=(a1,a1),且规定A11=1.向量行列式|A~(-)|按第n列展开,有|A~(-)|=A1naT1+A2naT2+…+AnnaTn.容易证明,向量行列式某行各元素乘以数λ,等于λ乘以此向量行列式;向量行列式某行各元素的λ倍加到另一行的对应元素上去,行列式不变.记bk=A1ka1+A2ka2+…+Akkak(k=1,2,…,n),显然,b1=A11a1=a1.定理2.1 设a1,a2,…an是Euclid空间V的一线性无关列向量组,则b1,b2,…bn是V的一正交列向量组.  证 (bk,aj)=A1k(a1,aj)+A2k(a2,aj)+…+  Akk(ak,aj)=a11…a1,k-1a1ja21…a2,k-1a2j…………ak1…ak,K-1akj当j<k时,上面行列式中有两列相同,故(bk,aj)=0,当j≥k时,由于a1,…,ak-1,aj线性无关,上面Gram行列式不等于0[2],故(bk,aj)≠0.设bk,bj是b1,b2,…,bn中任意两个不同向量(不妨j<k),则(bk,bj)=(bk,A1ja1+A2ja2+…+Ajjaj)=A1j(bk,a1)+A2j(bk,a2)+…+Ajj(bk,aj)=0又 (bk,bk)=(bk,A1ka1+A2ka2+…+Akkak)= A1k(bk,a1)+A2k(bk,a2)+…+Akk(bk,ak)= Akk(bk,ak)≠0因此,b1,b2,…,bn是V的一正交向量组.定理2.2 设  (i)a1,a2,…,an是Euclid空间V的一线性无关列向量组;(ii)A~(-)λri(λ≠0),ri+krj(j<i)λ1﹃T1 * …λn-1﹃Tn-1﹃Tn则﹃1,﹃2,…,﹃n是V的一正交列向量组.证 bT1=A11aT1=aT1,取﹃T1=λ0aT1(λ0≠0).bT2=A12aT1+A22aT2=a11 aT1a21 aT2λri,ri+kr1  1λ*λ1 ﹃T10 ﹃T2=λ1λ*﹃T2,λ1=λ0a11≠0,在初等行变换过程中﹃T1=λ0aT1没有变;﹃T2=λ*λ1bT2,对第一行或第二行乘以不为0的常数时,λ*表示这些常数的积.假设bTn-1=A1,n-1aT1+A2,n-1aT2+…+An-1,n-1aTn-1=a11…a1,n-2aT1a21…a2,n-2aT2…………an-1,1…an-1,n-2aTn-1λri,ri+krj(j<i) 1λ*λ1﹃T1 * …λn-2﹃Tn-2﹃Tn-1=λ1…λn-2λ*﹃Tn-1由于Δn-2≠0,定有λ1λ2…λn-2≠0,所以﹃Tn-1=λ*λ1…λn-2bTn-1.于是bTn=A1naT1+A2naT2+…+AnnaTn=a11…a1,n-1aT1…………an-1,1…an-1,n-1aTn-1an1…an,n-1aTnλri,ri+krj(j<i)λ*λ1﹃T1 * …λn-1﹃Tn-1an1…an,n-1aTnrn+krjλ*λ1﹃T1 * …λn-1﹃Tn-1﹃Tn-1=λ1…λn-1λ*﹃Tn由于Δn-1≠0,定有λ1λ2…λn-1≠0,所以﹃Tn=λ*λ1…λn-1bTn.由定理2.1知b1,b2,…,bn是V的一正交列向量组,因此﹃1,﹃2,…,﹃n也是V的一正交列向量组.综上讨论,将减列Gram向量矩阵A~(-)进行两种初等行变换:λri(λ≠0)和ri+krj(j<i),把A~(-)化成右上三角形向量矩阵,则A~(-)中的aT1,aT2,…,aTn变换成的﹃T1,﹃T2,…,﹃Tn就是一正交向量组.如果再标准化,就得到一规范正交向量组.例2 设aT1=(1,0,-1,1),aT2=(1,-1,0,1),aT3=(-1,1,1,0),试将aT1,aT2,aT3化为正交向量组.解A~(-)=3210-11231-101-2-2-1110r2×3,r3×33210-11693-303-6-6-3330r2-2r1,r3+2r13210-11051-3210-2-1312r3×5,r3+2r23210-11051-32100-39912r3×133210-11051-32100-1334所以﹃T1=(1,0,-1,1),﹃T2=(1,-3,2,1),﹃T3=(-1,3,3,4)是所求正交向量组.规范正交化的向量矩阵法@熊德之$武汉化工学院理学院!湖北武汉430074Gram矩阵;;向量矩阵;;初等行变换通过讨论得到利用向量矩阵的初等行变换和将线性无关向量组进行规范正交化的两种方法.这两种方法简捷、易行.[1] 王萼芳.高等代数教程(下)[M].北京:清华大学出版社,1997. [2] 蒋尔雄,高坤敏,吴景琨.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1979. [3] 张禾瑞,郝金丙新.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1983. [4] 同济大学应用数学系.线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003. [5] 仇永平.合同变换正交化方法[J].曲阜师范大学学报,1988,(1):7072. [6] 田元生.标准正交基的一种简便求法[J].湖南教育学院学报,2000,(S1):130132.

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