2011年全国高考新课程理科数学卷压轴题的解答

作者:王慧兴 刊名:试题与研究:高中文科综合 上传者:杨长明

【摘要】2011年河南省高考使用全国新课程卷,其数学压轴题是第21题.本题表面上看似基本,但同历届高考试题一样,命题者所给的参考答案隐藏了试题立意本质和其中蕴含的丰富的数学方法.数学压轴题大都基于边缘载体,凸显数学方法.

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解题探讨 o 2011年全国高考新课程理科数学卷压轴题的解答 河 南 王慧 兴 2011年 河 南 省 高 考 使 用 全 国新 谍 程 卷 ,其 数学压轴题是第 21题.本 题表面上 看似基 本, 但同历届高考试题 一样 ,命 题者所 给的参考 答 案隐藏 了试题立意本质 和其 中蕴含 的丰富的数 学方法.数学压轴题大都基 于边缘载体 ,凸显 数 学方 法 . 一 、 试题解答 题 目:已知 函数 _厂(-,,)一 + ,曲线 一 ( )在点 (1,厂(1))处 的切线方程 为 x+2y3= 0. (I)求 a,b的值; (1I)如果当 x>0,且 x=/~l时 ,-厂( )> + 鱼 , 求 是的取值范围. 为节省篇幅,我们直接给出(I)的结果 a一6— 1,下面只就厂(z)一 +{解答(Ⅱ). 解法一 :作差,分离出本质,舍弃无关因素,简化 问题. 一 · . 一 ( + ) lno7 lnx .1一是 一 21nx .1一志 z+ 1 一 1 -z 0— 1 z 一 [一21nx+(1 (一{)], . 。 . 即求实数 k的取值范围,使得 f一21rcr+(1一 )( 一{)<o,VxE(o,1), 【一21rcr+(1一 )( 一{)>o,V ∈(1,+∞) (※ ) 取 (z)一一21nx+(1一是)( 一{), xE (0,+∞),则 (1)一O,, (工)一一导+(1一愚)(\1+ ) / 一 挚 ( 一 一 ). 由均值不等式 司知 , ≤ 1,VxC-(o,+ ),且 z一1时取“一”, 所以( ) 一1( >0). (☆) 当 1一是≥ 1,即 是≤ o时, ( )≥ o, (z)在 (0,+∞)上单 调递增,从 而有 ( )>9,(1)一0, VxE(1,+∞)以及 (z)< (1)一O,Vz∈(O,1),即 不等式组(※)成立. 当 >O时 ,有 1一是< 1,根据 (☆ ),存 在 o> 1, 使 得 > 1一 是,Vz∈ (1, 。),即 在 区 间 (1, 。)上 , ( )< o,从 而 ( )在 [1,zo)上 递 减 ,则对 一切 z∈ (1,.TO),均有 ( )< (1)一0, 即 厂(Ir)< + . 综上所述,满 足要求的实数 是的取值范 围是 (一∞,0]. 解法二:分离参数,确立参数限定方向,凸显极 限妙算. 求实数南,使得 +{> +砉,Vz∈ (o,1)u(1,+ ),即求实数是,使得 >主 , V 2g"∈(0,1)U(1,+∞). 取 ( )一 , ∈(o’1)u(1’+o。),则 (35')一 (1+ ln.27)( — — — — — — — — ‘ : 二 ! 堕 1)0 一 ~ 。 2+- 11 1一lM),( 0一) 0+ /’ 取r(z)一拳 ~1m, ∈(o,+o。), ~ljr(1)-O, )一 出 ), r 一 一 {L 。1rl J Z 一 ≤0, 。 解题探讨 . 。 . 造表如下 X (0.1) 1 (1。+ 。。) r ( ) O r(z) 手 O ,一 (z) + (z) 故 ≥ 普 一 (南 · lnx丁lnl/"~ 一 南 · 一1z十l—l z一』 一 1 z (1nx) l一一 1} = 1, · 。 · 七≤O,这就是所求实数 志的取值范围. 匕述极限1im 一去,也可以通过建构不等式 1.‘ 1 组,应用两边夹的方法求得,这样更能揭示试题的本质. 事 实上 ,取 ( )一ln(1+z)一z, ∈ (~1,+o。),则 (o)一0, (z)一. 一

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