重视背景历经过程变通思维崇尚理性——由一次周测结果引发的思考

作者:郑良 刊名:中学教研:数学版 上传者:杨利平

【摘要】文章以《数学(选修2-2)》周测题为载体;呈现学生的答题错误和教师的教学情况;分析错误成因;同时针对教与学的现状;结合教学实践给出教学思考.

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重视背景历经过程 变通思维崇尚理性 ———由一次周测结果引发的思考 ●郑 良  (灵璧县第一中学,安徽 灵璧 234200)   摘 要:文章以《数学(选修22)》周测题为载体,呈现学生的答题错误和教师的教学情况,分析错误成因,同时针对 教与学的现状,结合教学实践给出教学思考. 关键词:背景;经历;思维;理性;核心素养 中图分类号:O122    文献标识码:A    文章编号:1003-6407(2019)01000405 1 问题提出 最近笔者所在学校高二年级安排了内容为 《数学(选修22)》全册(推理与证明、导数、定积 分、复数)的周测.面对学生不堪入目的答卷,家长 牢骚满腹、无能为力;学生无精打采、唉声叹气;教 师愁容不展、无可奈何.通过学科组教研活动,笔者 较全面地了解了学生的答题情况和教师的授课情 况.本文以部分典型问题为例,给出对相关问题的 理解,不足之处,敬请批评指正. 2 案例剖析 例1 集合 A是集合{1,2,3,…,14}的子集, 从A中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构 成等差数列,则A中元素个数的最大值是 . 多数学生找不到解题的切入点,部分学生缺乏 理性思维能力和全局意识导致集合 A中存在某3 个元素能构成等差数列. 解 由题意知,若1∈A,2∈A,则3A,令4∈ A,5∈A,则6A,7A,8A,9A.令10∈A,11∈ A,则12A,令13∈A,14∈A,此时 A中元素个数 的最大值为8. 评注 题设“由小到大排列”可隐去,学生应 该想到对数进行大小排序实现化无序为有序,方便 操作.集合 A中数的起点和跨度如何确定?为使 集合A的元素个数最多,需要其起点低(数值小)、 跨度小.以上理应是思维训练有素的学生自然想到 的,从本题解答可以看出,多数学生不会思考,即其 逻辑推理能力不过关.教师针对基础薄弱的学生应 该使用“助产术”启发并助推学生思维有序化,逐 步实现思维的优化(如自然数加法的奇偶性判断 等),而对于逻辑思维能力强的学生,教师可引导 其探究此类问题是否具有一般性结论. 例2 在等比数列{an}中,若a1∈(0,1),a2∈ (1,2),a3∈(2,3),则a4的取值范围是 . 多数学生利用等比数列的性质得到 a4= a2a3 a1 ∈(2,+∞), 部分学生适度压缩范围得到 a4= a23 a2 ∈(2,9). 在等比数列{an}中恒有“ a2a3 a1 = a23 a2 ”,为什么此处 范围不同?类比是一个伟大的引路人.我们遇到过 类似问题吗?本题与类比模型有无差异?产生差 异的原因是a1,a2,a3彼此关联,导致个体(a1,a2, a3)或总体(目标a4)的范围不够精准,故可尝试压 缩其范围或通过变换实施等价转化. 解法1 设数列{an}的公比为q,则 0<a1<1, (1) 1<a1q<2, (2) 2<a1q 2<3, (3{ ) 由式(1)和式(2)得q>1,由式(2)和式(3)得1< q<3,由式(1)和式(3)得 q2>2,即 q 槡>2,故槡2< q<3,因此a4=a3q∈(槡22,9). 解法2 由条件a1∈(0,1)知 a2= a1a槡 3∈(1,槡3), a1= a22 a3 ∈ 13,( )1, 从而 q= a2 a1 ∈(1,槡33), q= a3 a2 ∈ 槡23 3,( )3, ·4· 中学教研(数学) 2019年第1期  收文日期:20180422;修订日期:20180517 作者简介:郑 良(1980—),男,安徽灵璧人,中学高级教师.研究方

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