随机环境中可迁移两性分枝过程的极限性质(无全文)

作者:宋明珠;胡守鹏 刊名:东北师大学报(自然科学版) 上传者:王建

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【摘要】在独立同分布的随机环境下,建立了随机环境中可迁移的两性分枝过程{Zn}n≥0,且迁移人口数依赖当前人口数.证得{Zn}n≥0和{(Fn,Mn)}n≥0是随机环境中的马氏链,并得到了第n代每个配对单元平均增长率{rk}k>0的极限性质,从而推广了经典两性分枝过程的相关理论.

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1预备知识为了更精确地描述某种生物的人口模型,D.J.Daley在1968年首次引入了两性分枝过程的模型,得到众多概率论学者的广泛关注和深入地研究[1-8].由于自然界生物在繁衍的过程受到自然环境、社会环境等诸多因素的影响,作为两性分枝过程和随机环境中分枝过程的自然推广,马世霞引入了随机环境中的两性分枝过程,得到了一系列有价值的结果[6-7].实际上生物为了生存,有些个体需要离开原来的群体,同样也有新的个体加入到这个群体中来,即生物人口的迁移.现在大多数模型只考虑各类环境对配对数目的影响,而忽视人口迁移对配对数目的影响.本文从环境和人口迁移两方面出发,建立了随机环境中可迁移的两性分枝过程,且迁移人口数依赖当前人口数,推导出这类两性分枝过程是随机环境中的马氏链,以及第n代每个配对单元平均增长率的极限性质,进而推广了经典两性分枝过程的相关理论.设(,F,P)是一概率空间,(,B)为任意可测空间,N+表示非负整数集,Nm={-m,-m+1,…,0,1,2,…},m为一确定的正整数.设X={Xn:n=0,1,2,…}是(,F,P)上取值于N+的随机序列,{P(;,):}是N2+上的一族转移函数,且假定对任意的AA,P(;,A)关于BA是可测的.配对函数L(,)是定义在N2+上取值于N+的二元函数,对每个分量都是非减的且L(x,y)xy.0={n:0,1,2,…}和{(Fn,Mn)}n1是(,F,P)上分别取值于(,B)和N2+的随机序列,{(fn,i,mn,i)}i1是给定环境n的条件下取值于N2+的独立同分布二维随机变量序列,k0,{Y(k)n}n0是独立于{(fn,i,mn,i)}i1取值于Nm的随机变量序列.当Y(k)n0,表示第n代有Y(k)n个配对单元迁入;当Y(k)n<0,表示第n代有-Y(k)n个配对单元迁出.定义1.1若{Zn}n0满足:(1)Z0=NN+;(2)(Fn+1,Mn+1)=Zni=1(fn,i,mn,i);(3)Zn+1=L(Fn+1,Mn+1)+Y(L(Fn+1,Mn+1))n+1,L(Fn+1,Mn+1)+Y(L(Fn+1,Mn+1))n+1>0;0,L(Fn+1,Mn+1)+Y(L(Fn+1,Mn+1))n+10烅烄烆.则称{Zn}n0为随机环境中可迁移的两性分枝过程,其中:fn,i和mn,i分别表示第n代的第i个配对单元在环境n下生成的雌性和雄性个体数;Fn+1和Mn+1分别表示第n代所有配对生成的雌性和雄性总数;Y(L(Fn+1,Mn+1))n+1表示第n+1代迁移的配对数,且迁移的配对数受当前人口数影响,配对函数L(,)和迁移的配对数形成了第n+1代的Zn+1个配对.定义1.2如果对任意的x,nN+,有P(X0=x|)=P(X0=x|0),P(Xn+1=x|Xn0,)=P(n;Xn,x).则称X是随机环境中的马氏链.记Fn(n)=(Z0,Z1,…,Zn,n),n=0,1,2,…;pk,l(n)=P(fn,i=k,mn,i=l|).假定对任意的x,yN+,L(x,y)与Fn(n)独立,约定中涉及的随机变量的数学期望均存在.2马氏性引理2.1对任意的A,BF,(,B),若P(B|)>0,则P(A|B)=P(AB|)P(B|).定理2.1{Zn}n0是随机环境中的马氏链,其一步转移概率为P(n;i,j)=PLik=1(fn,k,mn,k())+YL(ik=1(fn,k,mn,k))n+1(=j).证明由{Zn}n0的定义可知P(Z0=N|)=P(Z0=N|0).由引理2.1,{Zn}n0和Y(k)n的定义以及L(x,y

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