随机环境中具有随机控制函数的两性分枝过程

作者:宋明珠 刊名:工程数学学报 上传者:党晓江

【摘要】随机环境中两性分枝过程是研究两性生物繁衍规律的过程.本文主要研究随机环境中具有随机控制函数的两性分枝过程,在独立同分布的环境下,此过程是随机环境中的马氏链,同时给出了概率母函数之间的关系表达式.当过程的控制函数是上可加时,本文推导出了配对单元平均增长率的极限性质,从而推广了经典两性分枝过程的相关理论.

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1引引言言为了更精确地描述某种生物的人口模型,Daley在1968年首次引入了两性分枝过程的模型[1],得到众多概率论学者广泛地关注和深入地研究[2-4].由于自然界生物在繁衍过程中受到自然环境、社会环境等诸多因素的影响,作为两性分枝过程和随机环境中分枝过程的自然推广,马世霞引入了随机环境中的两性分枝过程,得到了一系列有价值的结果[5,6].两性生物在进行配对繁衍后代时,配对数目通常受到自然、社会等其他可能因素的控制[7-9],鉴于此,本文建立了随机环境中具有随机控制函数的两性分枝过程,讨论了此过程的马氏性和概率母函数之间的关系;当控制函数上可加时,得到了配对单元平均增长率的极限性质,从而推广了经典两性分枝过程的相关理论.设(?,F,P)是一概率空间,(,B)为一可测空间,N+表示非负整数集,配对函数L(,)是定义在N2+上取值于N+的二元函数,对每个分量都是非减的且L(x,y)xy.环境序列-={n}n=0和{(Fn,Mn)}n1是(?,F,P)上分别取值于(,B)和N2+的随机序列,{(fni,mni)}i1是在给定环境n下取值于N2+的独立同分布二维随机变量序列,对任意给定的,pi,j()是概率分布律.定义1若{Zn}n0满足?????Z0=NN+,(Fn+1,Mn+1)=?n(Zn)i=1(fni,mni),Zn+1=L(Fn+1,Mn+1),P(fni=k,mni=l|n)=pk,l(n),k,lN+,则称{Zn}n0为随机环境中具有随机控制函数的两性分枝过程.其中控制函数{?n(k):kN+}n=0是N+上的一族随机变量序列,具有一维概率分布pk(i)=P(?n(k)=i),k,iN+,且{?n(k),n,kN+}关于n独立同分布.控制函数?n(k)=i说明当第n代配对数为k个时,能参与繁衍后代的配对数为i个.fni和mni分别表示第n代的第i个配对单元在环境n下生成的雌性和雄性个体数;Fn+1和Mn+1分别表示第n代所有配对生成的雌性和雄性总数.定义2随机环境中两性分枝过程{Zn}n0称为上可加的,如果其配对函数是上可加的,即L(ki=1(fn,i,mn,i))ki=1L(fn,i,mn,i).定义3如果对任意的x,nN+,有P(X0=x|-)=P(X0=x|0),P(Xn+1=x|-Xn0,-)=P(n;Xn,x),则称-X是随机环境-中的马氏链.记Fn(-)=(Z0,Z1,,Zn,0,1,,n,),n=0,1,2,,且对任意的x,yN+,L(x,y)与Fn(-)相互独立.本文约定下文中的{Zn}n0都是随机环境中具有随机控制函数的两性分枝过程且是上可加的,?n(k),n,k=0,1,与随机变量序列-相互独立以及涉及的随机变量的数学期望均存在.2马马氏氏性性定理1设-={n}n=0独立同分布,则{Zn}n0是随机环境中的马氏链,其一步转移概率为P(n;i,j)=k=0pi(k)P(L(ki=1(fni,mni))=j).证明由{Zn}n0的定义可知P(Z0=N|-)=P(Z0=N|0).因为L(x,y)与Fn(-)相互独立且?n(k),n,k=0,1,与-相互独立,对任意的i1,i2,,in-1,iN+,有P(Zn+1=j|Z0=N,Z1=i1,,Zn-1=in-1,Zn=i,-)=P(L(?n(Zn)l=1(fnl,mnl))=j|Z0=N,Z1=i1,,Zn-1=in-1,Zn=i,-)=k=0P(L(kl=1(fnl,mnl))=j,?n(i)=k|Z0=N,Z1=i1,,Zn-1=in-1,Zn=i,-)=k=0P(L(k

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