随机环境中两性分枝过程的性质与灭绝条件(无全文)

作者:宋明珠;吴永锋 刊名:浙江大学学报(理学版) 上传者:耿振强

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【摘要】介绍了随机环境中的两性分枝过程,利用概率母函数之间的关系,推导出此类两性分枝过程的有关性质,同时给出了两类常见随机环境中两性分枝过程灭绝的充分条件.

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0引言为了更精确地描述某些生物的人口模型,文献[1]首次引入了两性分枝过程的概念,得到众多概率论学者的广泛关注和深入研究.文献[2]在两性分枝过程的基础上给出了带有移民的两性分枝过程.文献[3]给出了配对依赖人口数的两性分枝过程,得到了一系列有价值的理论.由于自然界生物在繁衍过程中会受到自然环境、社会环境等诸多因素的影响,作为两性分枝过程和随机环境中分枝过程的自然推广,文献[5-6]分别建立了随机环境是独立同分布和平稳遍历的两性分枝过程,给出过程灭绝的充分条件.本文在前人研究的基础上,利用各概率母函数之间的关系,推导出此类两性分枝过程的有关性质,针对两类常见的随机环境中的两性分枝过程,本文给出了这两类过程灭绝的充分条件.设(,F,P)是一概率空间,(,B)为一可测空间,N+表示非负整数集,配对函数L(.,.)是定义在N2+上取值于N+的二元函数,对每个分量都是非减的且L(x,y)xy.独立同分布序列环境={n:n=0,1,2,…}和{(Fn,Mn)}n1是定义在(,F,P)上分别取值于(,B)和N2+的随机序列,{(fn,i,mn,i)}i1是在给定环境n下取值于N2+的独立同分布二维随机变量序列.对任意给定的,pi,j()是概率分布律.定义1若{Zn}n0满足Z0=N,(Fn+1,Mn+1)=Zni=1(fn,i,mn,i),Zn+1=L(Fn+1,Mn+1烅烄烆),且在给定的环境n下,第n代的每一个配对单元生成个体是雌性的概率为(n),则称{Zn}n0为随机环境中的两性分枝过程.其中fn,i和mn,i分别表示第n代的第i个配对单元在环境n下生成的雌性和雄性个体数;Fn+1和Mn+1分别表示第n代所有配对生成的雌性和雄性个体总数,并由配对函数形成了第n+1代的Zn+1个配对单元.定义2对于随机环境中两性分枝过程{Zn}n0称为上可加的,如果其配对函数是上可加的,即L(ni=1(fn,i,mn,i))ni=1L(fn,i,mn,i),配对函数的上可加性比较直观地反映生物繁衍的实际情况.本文恒设{Zn}n0是上可加的,且约定文中涉及的随机变量的数学期望和导数均存在.1概率母函数之间的关系设概率母函数对0s1,s21,有n(s1,s2)=E(sfn,i1smn,i2|n),n(s)=E(sfn,i+mn,i|n),n+1(s1,s2)=EsFn+11sMn+12,n+1(s)=EsFn+1+Mn+1,n(s)=EsZn,Fn(s)=E(sfn,i|n),Mn(s)=E(smn,i|n).引理1[7]对任意的0s1,s21,有n(s1,s2)=n((n)s1+(1-(n))s2).引理2[5]对任意的0s1,s21,有n+1(s1,s2)=En(n(s1,s2)).定理1设{Zn}n0是随机环境中的两性分枝过程,则对任意的n有EFn+1=E[(n)(fn,i+mn,i)]EZn,EMn+1=E[(1-(n))(fn,i+mn,i)]EZn.证明由n+1(s1,s2)定义可知n+1(s1,s2)=EsFn+11sMn+12=i=0j=0si1sj2P(Fn+1=i,Mn+1=j),令s2=1,对上式两边关于s1求偏导得n+1(s1,1)s1s1=1=i=1isi-11P(Fn+1=i)s1=1=i=1iP(Fn+1=i)=EFn+1.(1)由引理1可知En(n(s1,s2))=En(n((n)s1+(1-(n))s2)),令s2=1,对上式两边关于s1求偏导,由n(1)=1可得En(n(s1,1))s1|s1=1=En(n((n)s1+(1-(n)))s

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