探索 启示 改进 延伸——简析2005年数学高考浙江理科卷压轴题

作者:郑日锋 刊名:教学月刊(中学版) 上传者:王峙博

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2005年数学高考浙江理科卷压轴题(第(20)题)如下:设点A n(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-12n-1,xn由以下方法得到:x1=1,点P(2x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A(1x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点Pn+(1xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点A(nxn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程.(Ⅱ)证明{xn}是等差数列.此题主要考查多项式函数的导数、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.关注知识网络的交汇点,强调知识的综合是命制此试题的指导思想.通常的递推数列问题是直接给出递推公式与初始项,而此题以独特的方式——几何法给出递推数列,让人耳目一新,同时又突出考查了数列研究中的通法——递推法.此题又是解析几何、导数、数列的综合问题,着重考查了等价变换、抽象概括、归纳推理、猜想证明等能力.下面笔者从四个方面对该题作一分析.一、多角度探索方法一(1)由题意,得A(11,0),C1:y=x2-7x+b1设点P(x,y)是C1上任意一点,则A1P=姨(x-1)2+y2=姨(x-1)2+(x2-7x+b1)2.令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则f('x)=2(x-1)+2(x2-7x+b1)(2x-7).由题意得f'(x2)=0,即2(x2-1)+2(x22-7x2+b1)(2x2-7)=0.又P2(x2,2)在C1上,所以2=x22-7x2+b1,解得x2=3,b1=14.故C1的方程为y=x2-7x+14.(2)设点P(x,y)是Cn上任意一点,则AnP=姨(x-xn)2+y2=姨(x-xn)2+(x2+anx+bn)2.200511令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则g('x)=2(x-xn)+2(x2+anx+bn)(2x+an).由题意得g('xn+1)=0,即2(xn+1-xn)+2(x2n+1+anxn+1+bn)(2xn+1+an)=0.又因为2n=xn2+1+anxn+1+bn,所以(xn+1-xn)+2(n2xn+1+an)=0(n≥1).即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0.(*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1.①当n=1时,x1=1,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2n+1)xk+1-xk+2kak=0.又ak=-2-4k-12k-1,所以xk+1=xk-2kak1+2k+1=2k+1.即当n=k+1时,等式成立.由①②知,等式对任意n∈N*成立.所以{xn}是等差数列.方法二据定理“:圆锥曲线C上的动点P到不在其上的一定点A的距离取到最小值时,C在点P处的切线必与直线PA互相垂直.”(利用平面几何知识易证,限于篇幅,本文从略)(1)a1=-7,C1:y=x2-7x+b1.由已知A1不在C1上,由此得C1在点P2处的切线必与直线P2A1互相垂直.C1在点P2处的切线的斜率为y'|x=x2=2x2-7,而kP2A1=x2-21,所以(2x2-7)·x2-21=-1,解得x2=3,于是b1=14,故C1的方程为y=x2-7x+14.(2)类似(1),Cn在点Pn+1处的切线的斜率为2xn+1+an,而kPn+1An=xn+21-nxn,由已知得(2xn+1+an)·xn+21-nxn=-1

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