关于函数凸性的一个不等式及应用

作者:肖佳 刊名:数学通报 上传者:张秀妍

【摘要】本文给出关于函数凸性的一个不等式,然后利用它来证明[1]中的一个不等式猜想当n≥3时成立,以及解决[2]中用凸函数的理论证明一类条件不等式时存在的瑕疵问题.定理1设函数f(x)在[a,b]上可导,其图像在[a,c]与[c,6](a<c<b)上分别是向上凸的和向下凸的.如果x0∈(a,c),满足f(b)≤f′(x0)·(b-x0)+ f(x0),则f(x)≤f′(x0) (x-x0) +f(x0),(V)x∈[a,b].

全文阅读

2012年 第 51卷 第 7期 数 学通报 49 关于函数凸性的一个不等式及应用 肖 佳 (武汉第十九中学 430022) 本文给出关于 函数凸性的一个不等式 ,然后 利用它来证明[-1-1中的一个不等式猜想当 ≥3时 成立,以及解决[2]中用凸函数的理论证明一类条 件不等式时存在的瑕疵问题. 定理 1 设函数 -厂(z)在[n,6]上可导,其图像 在[n,c]与[c,6](。<c<6)上分别是向上凸的和向 下凸的.如果 z。E(a,c),满足 厂(6)≤ (z。)·(6— 370)+f(xo),则 厂( )≤f (z。)(z—z。)+f(z。),V X∈Ea, 6]. (1) 证明 由于厂(z)的图像在[a,c]上是向上凸 的,且 z。∈(。,c),则由凸函数的性质知 , -厂( )≤f (zo)(z—z0)+f(xo),V z∈Ea, c]. (2) 特别地,我们有 厂(c)≤厂 (z。)(c—z。)+f(x。). 又由于 厂(6)≤厂 (z。)(6一z。)+,(z。),故图像上 两点(f,,(c))与(b,f(b))均位于直线 y—f ( 。) (z—z。)+-厂( )的下方 ,那 么连接这两点的线段 也位 于直 线 一 (z。)(z—X。)+f(z。)的下 方 ,即 ( —c)+厂(c)≤厂(z。)(X-C)+ D ——f 。 f(x。),VxE[ . 另一方面,_厂(z)的图像在[c,6]上是向下凸 的,则 由凸函数的性质知 , )≤ (X-C)+ ), V z E [c,6]. 于是 ,我们有 -厂(z)≤f (z。)(z—c)+f(xo), V z E Ec, 6j (3) 联合(2)、(3)两个不等式,便得不等式(1). 类似地,我们还可以证明下面的结论. 定理2 设函数 厂(z)在[口,6]上可导,其图像 在 ,c]与[c,6](n<c<6)上分别是向下凸的和向 上凸的.如果 z。E(以,c),满 足 f(6)≥f (z。)· (b-x。)+f(x0),则 -厂( )≥f ( 。)( — 。)+f(z。),V E Ea, 6]. 作为定理 1的一个应用,我们证明[1]中的不 等式猜想当 ≥3时成立. 猜想 若 z > 0,i一 1,2,⋯, ,且 z 一 ,则骞 ≤ . 为叙述简便,记,( )一南 ,z E Eo,13· 当 一 1时 ,猜想显然成立,此时不等式总取 等号. 当 一2时,厂(÷)+厂(号)一 27 4,故猜 想不成立.事实上 ,由于 )一一百 , (z)一 >0, V E(0,1), 故 ,(z)的图像在[O,1]上是向下凸的.那么, 由凸函数的性质知, f(x1)+ z)≥2厂( ) 詈, 即不等式猜想中的“≤”应改为“≥”. 下面证明:当n≥3时,不等式猜想成立. 直接计算得 厂 (z)一 嚣 , 厂(z)一 等 , 故厂(z)在(o,1)内有唯一零点c一√ , "一 广— 并且 当 z E (0,c)时, ( )< 0;当 z (c,1), 5O 数学通报 2012年 第 51卷 第 7期 / (z)>O.因此,厂(z)的图像在[0,f]与[c,1]上分 别是 向上凸的和向下 凸的.注意到,O< < c,并 且 ,当 一3时, 厂(告)( 一号)+厂(÷)一一而54 1一号)+ 而9: 丽 27 > 1 一厂(1); 当 n>3时, /( )( 一 )+,( )=

参考文献

引证文献

问答

我要提问