激光干涉仪反射镜三维温度场的快速多极边界元分析

作者:高令飞;王海涛;张鸣;朱煜 刊名:工程力学 上传者:秦小英

【摘要】温差造成光刻机激光干涉仪反射镜热变形,从而影响光刻机的精度。该文将基于二次单元的快速边界元法用于激光干涉仪反射镜的大规模温度场模拟。不连续单元的引入可以有效处理角点问题;新型快速多极算法用于边界元法的加速求解。建立统一的二次单元多极展开格式以处理混合边界。数值算例分析了快速多极边界元法的计算精度和效率,并和常规算法比较;使用该算法对激光干涉仪反射镜进行了大规模温度场计算,并和有限元法比较。结果表明:基于二次单元的快速多极边界元法可以高精度求解大规模三维传热问题。

全文阅读

激光干涉仪是光刻机的核心单元之一,其反射镜的精度直接影响光刻机的工作精度。为保证激光干涉仪的工作精度,有必要控制其反射镜在温差下的热变形,因此精确的预测温度场是保证激光干涉仪反射镜效率的前提。在温度场分析的众多数值方法中,有限元法已经得到广泛应用。而边界元法[1]作为有限元法的有益补充,只需在结构表面离散单元,域内精确满足物理方程,因此在处理形状复杂的三维结构建模方面具备优势。传统边界元法由于系数矩阵通常为满阵,求解大规模问题时效率较低,表现在计算复杂度为O(N3)或O(N2),存储复杂度为O(N2),其中N是边界自由度。伴随着新型快速算法的发展,如快速多极算法[23]和ACA算法[4],快速边界元求解算法成为近10年来边界元领域的热点之一。其中,快速多极边界元法的计算量和存储量均降为O(N),ACA边界元法的计算量和存储量降为O(NlogN)。有研究表明,在中等求解规模以下,ACA法的求解速度通常高于快速多极算法[57]。但与常报道的ACA法求解几万自由度规模不同,快速多极边界元法可求解几十万自由度甚至更大的规模[89]。因此快速多极边界元法在大规模问题求解中具备竞争力。快速多极边界元法的综述见文献[10],相关研究大多使用常值单元,因此往往需要较大的自由度以达到较好的计算精度。本文提出基于二次不连续单元的新型快速多极边界元法,用于三维大规模传热问题的快速精确求解。与常值单元相比,二次单元可以以相对少得多的单元数量模拟结构的局部高温度梯度。通过建立统一的二次单元多极展开格式,该算法可以处理线性的混合边界条件,包括给定温度、给定热流和对流换热边界。数值算例验证了该算法的计算精度、计算速度、存储效率和大规模求解能力。1稳态传热问题的直接边界元法三维内部无热源稳态传热温度场的直接边界积分方程为:*()()(,)()d()SCxtxQxytySy*(,)d()STxyqySy(1)其中:t和q分别是边界温度和热流;x和y分别是边界源点和场点;C(x)是与x所在边界形状有关的自由项,对光滑边界,C(x)0.5;T*(x,y)和Q*(x,y)是基本解:**(,)1,*(,)(,)4TxyTxyQxykkrn(2)其中:k是导热系数;r是x和y两点的距离;n是边界单位外法向向量。将边界离散成面单元,可以得到离散的边界积分方程形式。本文采用四面体8节点不连续二次等参元,即几何节点与物理节点分别布置,几何信息与物理变量分别插值,见图1。图1中(01)是单元不连续性的控制参数。不连续单元可有效避免角点位置的变量法向不连续问题。在单元内的温度t和热流q表示为:8(8)12121218(8)1212121(,)(,)(,)(,)(,)(,)lllllllltNtqNq(3)其中:t和q分别定义在图1的物理节点上;Nl(8)是与有关的不连续单元插值函数。将式(3)代入式(1),得到离散形式的边界积分方程:C(x)t(x)8*(8)121211[(,(,))(,)d]()kNlklSklQxyNSty8*(8)121211[(,(,))(,)d]()kNlklSklTxyNSqy(4)图1不连续二次单元Fig.1Discontinuousquadraticelement2三维快速多极边界元2.1多极展开的统一格式考虑靠近场点y的一个参考点O,满足:|Oy||Ox|(5)则式(1)中包含基本解T*(x,y)的积分可以展开为[11]:*(,)()d()STxyqySyT01()()4nnmnmnmnSMOkOx(6)其中:i11()()!m(cos)emnmnnSnmPrOx

参考文献

引证文献

问答

我要提问