应用恒等变形解决数学问题

资源类型:pdf 资源大小:358.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:吴述超
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文档信息

【作者】 丁胜 

【关键词】数学问题 恒等变形 技巧 

【出版日期】2005-05-15

【摘要】归纳总结出恒等变形在解决初等数学问题中的一些应用。

【刊名】成都纺织高等专科学校学报

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在数学中 ,把一种形式转化为另一种形式 ,是解决数学问题的有力杠杆。由于数学问题条件多样、形式多变 ,因此其求解思路难以发现 ,需要一定技巧。恒等变形是解决数学问题的常用方法之一。掌握好并灵活运用它 ,可以很快确定解题方向 ,减少解题的盲目性 ,提高解题效率。下面谈谈在解决数学问题中 ,应用恒等变形的方法。1 配方法一般在解析式的变化过程中 ,使用公式a2 ±2ab+b2 =(a±b) 2 ,可使其呈现某一式的完全平方。但在解答问题时 ,给定的多项式往往不是完全平方式 ,需要适当配项 ,使之成为完全平方式 ;与此同时方可发现隐含条件。1 1 例 1设1x- 1y=1x +y,求 yx+ xy的值 解 :∵1x- 1y=1x +y ∴x +yx - x +yy =1即 :yx- xy =1又∵ ( yx+ xy) 2 =( yx- xy) 2 + 4 yx·xy=1 + 4=5∴ yx+ xy=± 5 1 2 例 2如果实数a、b、c、d都不等于零 ,且 (a2 +b2 )×d2 - 2b(a +c)d +b2 +c2 =0 ,求证 :a、b、c成等比数列 ,并且公比是d。证明 :由已知等式得 :a2 d2 +b2 d2 - 2abd - 2bcd+b2 +c2 =0配方得 :(ad -b) 2 + (bd -c) 2 =0∵a、b、c、d是非零实数 ,∴ad -b =0bd -c =0即 :d =ba =cb由此得 :d =ba=cb∴a、b、c成等比数列 ,且公比是d .2 消去法由元素间的关系 ,通过恒等变形 ,消去其中某些元素 ,从而得出其他元素间的等量关系 ,达到化简或求值的目的。2 1 例 3已知a + 1b=1 ,b + 1c=1 (b≠ 1 ,c≠ 1 ) ,求c+ 1a的值 解 :从已知条件中消去b,∵b =1 - 1c,∴a +11 - 1c=1 化简得 :a + 1c - 1 =1∴a =c - 1 -cc- 1 =1c- 1 (c≠ 1 )即 :1a=1 -c ,∴c + 1a=1 3 换元法在解题中 ,为了化繁为简、化难为易 ,常需引入一个或几个变量 ,以代替原有的变量 ,使得代换以后的问题中仅含新变量。通过对含新变量的问题的研究 ,达到解决原问题的目的。3 1 例 4已知方程组x1 x2 ……x2 0 0 4 =1 ,x1 -x2 x3……x2 0 0 4 =1 ,x1 x2 -x3x4……x2 0 0 4 =1 ,x1 x2 ……x2 0 0 3-x2 0 0 4 =1 ,求x1 0 0 0 解 :由第一个方程可知xi≠ 0 (i =1 ,2 ,…… ,2 0 0 4 )设pi=x1 x2 ……xi(i=1 ,2 ,…… 2 0 0 3) ,用Pi去乘第i+ 1个方程 ,两边得 :Pi2 - 1 =pi,(i=1 ,2…… ,2 0 0 3) ,∴pi=- 1± 52又∵x1 0 0 0 =P1 0 0 0P999,∴x1 0 0 0 =1或1 - 51 + 5 或1 + 51 - 5 4 特殊值法在一个恒等式中 ,取变量的一些特殊值 ,可得出这个恒等式中的常数值或常数之间的关系式。4 1 例 5已知x +y - 2是多项式x2 +axy +by2 - 5x+y + 6的一个因式 ,求a、b的值 解 :根据题意 ,有x2 +axy+by2 - 5x +y + 6=(x+y - 2 ) (x+my +n)令x =0 ,y =2 ,由上式有 :4b+ 2 + 6=0 ,∴b =- 2 令x =y =1 ,代入上式有 :1 +a - 2 - 5 + 1 + 6=0 ,∴a =- 1 5 待定系数法在解决某些问题时 ,先用字母表示需要确定的系数 ,再根据条件或要求来确定这些系数 ,从而解决问题。5 1 例 6设y=f(x)是一次函数 ,已知f ( 8) =1 5 ,且f( 2 )、f( 5 )、f( 1 4)成等比数列 ,求Sn =f( 1 ) +f( 2 )+… +f(n) 解 :设f(x) =kx +b(k≠ 0 ) ,∴f( 2 ) =2k +b ,f( 5 ) =5k +b ,f( 1 4) =1 4k+b.∵f( 2 )、f( 5 )、f( 1 4)成等比数列 ,∴ (f( 5 ) ) 2 =f( 2 )·f( 1 4) 即 :( 5k +b) 2 =( 2k +b) ( 1 4k+b) 化简得 :k(k + 2b) =0 ∵k≠ 0 ,∴k + 2b =0 ( 1 )……………………又∵f( 8) =1 5 ,∴ 8k +b =1 5 ( 2 )…………由式 ( 1 )、( 2 )解得 :k =2b =- 1∴f(x) =2x - 1 则Sn =f( 1 ) +f( 2 ) +… +f(n) =1 + 3+ 5 +… + ( 2n - 1 ) =n( 1 + 2n - 1 )2 =n2 6 拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式 ,从而化繁为简、化难为易。6 1 例 7计算 :11× 2 + 12× 3+ 13× 4+… + 1n(n + 1 )解 :利用 1n(n + 1 ) =1n - 1n + 1 ,则原式 =( 11 -12 ) + ( 12 - 13) +… + ( 1n- 1n + 1 ) =1 - 1n + 1 =nn + 1 7 方程法把所求值设为未知元 ,从而得到一个新的方程。通过解这个新方程达到化简或求值的目的。7 1 例 8求 3 2 + 5 + 3 2 - 5的值 解 :令 3 2 + 5 + 3 2 - 5 =x ,两边立方 ,得 :x3=2 + 5 + 2 - 5 + 33 ( 2 + 5 ) 2 ) ( 2 - 5 ) +33 ( 2 + 5 ( 2 - 5 ) 2化简得 :x3=4- 3x ,解之得x =1 ∴ 3 2 + 5 + 3 2 - 5 =1 8 三角函数中角的变换法在进行三角函数恒等变形时 ,要根据已知条件中角的构成特征灵活地实行角的变换。8 1 例 9设α、β均为锐角 ,sinα =473,sin(α + β) =1 11 4,求cosβ的值。解 :用 β=(α + β) -α求解 ∵sin(α + β) =1 11 4<473-sinα 且α、β均为锐角 ,∴α + β不可能是锐角 ,而应为π2 <α + β <π 因此 cosβ =cos[(α + β) -α]=cos(α + β)×cosα +sin(α + β)sina =- 51 43× 17+ 1 11 4× 473=39983 以上介绍了应用恒等变形解决数学问题的若干方法。但数学问题内容丰富 ,涉及面广 ,解决数学问题应具体问题具体分析 ,绝不能生搬硬套。灵活选择解决问题的方法 ,有助于减少解题的盲目性 ,提高解题效率 ,收到事半功倍的效果。应用恒等变形解决数学问题@丁胜$绵阳职业技术学院!四川绵阳621000数学问题;;恒等变形;;技巧归纳总结出恒等变形在解决初等数学问题中的一些应用。

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