P-达朗贝尔判别法及其应用  

作者:张玉林;孟程;赵茂先;董晓敏;葛晓晶 刊名:《大学数学》 上传者:黄梦娟

【摘要】对正项级数的达朗贝尔判别法作了推广,提出并证明了p-达朗贝尔判别法,扩大了其使用范围.进一步利用数列和子列的收敛关系,证明了其与柯西判别法之间的关系.最后通过例子对p-达朗贝尔判别法进行了验证.

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 [收稿日期]2015-10-19; [修改日期]2016-06-02  [基金项目]山东科技大学人才引进科研启动基金(2014RCJJ033);国家自然科学基金(61572128 )  [作者简介]张玉林(1979-),男,博士,讲师,从事机器学习方面的研究.Email:zhangyulin@sdust.edu.cn 第32卷第5期 大 学 数 学 Vol.32,№.5 2016年10月 COLLEGE MATHEMATICS  Oct.2016 p -达朗贝尔判别法及其应用 张玉林1,孟 程2,赵茂先1,董晓敏1,葛晓晶1 ( 1.山东科技大学 数学与系统科学学院,山东 青岛 266590; 2.山东科技大学 信息科学与工程学院,山东 青岛 266590)   [摘 要]对正项级数的达朗贝尔判别法作了推广,提出并证明了 p -达朗贝尔判别法,扩大了其使用范 围.进一步利用数列和子列的收敛关系,证明了其与柯西判别法之间的关系.最后通过例子对 p -达朗贝尔判 别法进行了验证. [关键词]正项级数;达朗贝尔判别法;柯西判别法;收敛性 [中图分类号]O174  [文献标识码]C  [文章编号]1672-1454(2016)05-0071-05 1 引  言 在级数理论中,研究正项级数,特别是判别其收敛性或发散性有很多方法,如达朗贝尔判别法,柯西判别法,拉贝判别法与对数判别法[ 1],或将达朗贝尔判别法及柯西判别法结合起来得到新的判别法,如 D-C判别法[ 2]和Z判别法[ 3].这些方法从不同角度探讨了如何判断正项级数的敛散性.本文针对达朗 贝尔判别法的不足,提出了一种改进的 p -达朗贝尔判别法,并证明了 p -达朗贝尔判别法与柯西判别法 的关系,最后给出了相关的例子进行了验证.定理1[ 1](达朗贝尔判别法) 对于正项级数 ∑ ∞ n =1 Un ,若limn →∞ Un +1Un = l ,则当 l <1时级数收敛;当 l >1(或 l =+ ∞ )时级数发散;当 l =1时无法判断. 定理2[ 1](柯西判别法) 对于正项级数 ∑ ∞ n =1 Un ,若limn →∞ n U 槡 n = l ,则当 l <1时级数收敛;当 l >1 (或 l =+ ∞ )时级数发散;当 l =1时无法判断. 在判定正项级数的敛散性时,这两种方法经常要用到.但是,柯西判别法的适用范围要比达朗贝尔判别法的适用范围更广[ 4].即凡能用达朗贝尔判别法判定出敛散性的正项级数,用柯西判别法也一定能判定.反之,用柯西判别法能判定出敛散性的正项级数,用达朗贝尔判别法却未必能判定. 例1 考察正项级数 ∑ ∞ n =1 2+ ( -1) n 2 n 的敛散性. 解 用柯西判别法判定,因为 limn →∞ n 2+ ( -1) n 2槡 n = 12 <1, 所以级数 ∑ ∞ n =1 2+ ( -1) n 2 n 收敛.但是用达朗贝尔判别法却无法判定,因为当 n 为奇数时,有limn →∞ Un +1Un = 32 >1,而 n 为偶数时,因limn →∞ Un +1Un = 16 <1,故极限lim n →∞ Un +1Un 不存在,这说明用达朗贝尔判别法无 法判断此级数的敛散性.虽然极限limn →∞ Un +1Un 不存在,但是极限limn →∞ Un +2Un 却存在,即无论 n 为奇数或偶数, 都有limn →∞ Un +2Un = 14 <1,进一步,有 1 4 = ( )1 2 2 ,即 limn →∞ Un +2Un = limn →∞ n U 槡( )

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