新型快速多极边界元法求解电荷任意分布的二维静电场

作者:何锃;吕浚潮;戴呈豪 刊名:计算物理 上传者:宫笃篪

【摘要】在初始快速多极边界元法(FMM)基础上提出一种适合位势问题的新型快速多极边界元格式,并用于求解静电场问题.新型算法引入对角化概念,减少了形成局部展开系数的时间,提高计算效率.最后给出数值算例,证明了新型算法的计算精度及处理大规模问题的速度优势.

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0引言快速多极边界元法是在边界元法基础上发展起来的,它不但继承了传统边界元法具有只在边界离散和精度高的优点,而且以树结构为操作对象,采用广义极小残差法(GMRES)迭代求解,把存储量和计算量都降到O(N)量级.快速多极边界元法最早由Rokhlin[1]提出,作为一种处理位势问题的快速算法,80年代后期Greengard等[2]提出了一种快速多极展开法,由于在计算量和存储量上只有O(N)的需求,适合处理大规模问题,近几年将快速多极算法和传统边界元法相结合的快速多极边界元法快速发展,并在其基础上又提出了新型快速多极边界元法,主要是通过引入对角化,使计算效率进一步提高.文[3]将快速多极边界元法首先应用于二维弹性力学边界元法中.本文提出了适合位势问题的新型快速多极边界元格式并用于静电场问题.1问题的提出设二维有限域是均匀电解质,域内有任意的电荷分布,域内电位函数满足方程[4]2u=/,(1)式中为域内自由电荷面密度,为电介质介电常量.为了不失一般性,令=0,则式(1)为2u=0.(2)图1二维电场域Fig1Atwodimensionalelectricfield引入边界条件u=-u,边界u上,q=un=-q,边界q上,其中-u是边界u上的给定函数值,-q是边界q上的给定法向导数.边界u,q及区域如图1,整个边界=uq.P是域内任意一点,P,Q是边界上的点.对(2)式运用格林公式[5]得到积分方程u(p)=u*(P,Q)q(Q)d(Q)-u(Q)q*(P,Q)d(Q),(3)其中u*(P,Q)=12ln1r(P,Q)是拉普拉斯方程的基本解,q*(P,Q)=u*(P,Q)n,r(P,Q)是P,Q之间的距离.上式说明了区域内任意点函数值u(p)、边界上的函数值u(Q)和函数法向导数值q(Q)之间的关系.只要知道边界上任意点的函数值和函数法向导数值,就能求出域内任意点的函数值.对(3)式运用边界元基本原理[5]得到边界积分方程c(P)u(P)=u*(P,Q)q(Q)d(Q)-u(Q)q*(P,Q)d(Q),(4)其中c(P)是与边界几何形状有关的量,当边界光滑时,c(P)=1/2,则(4)式变为12u(P)=u*(P,Q)q(Q)d(Q)-u(Q)q*(P,Q)d(Q).(5)显然静电场按给定的边界条件,由上式可以求出边界上所有未知的电位和电位的法向导数,再把求出的解代入(3)式即可求出电场内所有点的电位.2新型快速多极边界元法的应用21基本解的多极展开将静电场边界离散,由(5)式得到离散的边界积分方程12u(P)=mj=1ju*(P,Q)q(Q)d(Q)-jq*(P,Q)u(Q)d(Q).图2快速多极算法Fig2Fastmultiplealgorithm设求解的一部分边界j包含在一个最小正方形区域s1中,Q在j上,且Q0是s1的中心.当场点Q与原点P满足关系(图2)|Q0Q|12|Q0P|,Qs1时,把边界上的基本解u*(P,Q)以Q0为中心,在复数域上Taylor展开[6],pu*(P,Q)=Re12k=0Ok(P-Q0)Ik(Q-Q0),(6)其中Ik(z)=zkk!,当k0;Ok(z)=(k-1)!kz,当k1;Q0(z)=-ln(z),p为展开阶数.将(6)式代入积分项jju*(P,Q)q(Q)d(Q)=Re12pk=0Ok(P-Q0)Mk(Q0),(7)其中Mk(Q0)称作多极展开系数,u*(P,Q)q(Q)d(Q),得Mk(Q0)=jIk(Q-Q0)q(Q)d(Q).(8)显然Mk(Q0)只与场点Q的积分有关,与源点P无关.通过多极展开,将积分项

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