CAUCHY微分中值定理的推广

资源类型:pdf 资源大小:584.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:郑平平

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文档信息

【作者】 甘小冰  陈之兵 

【关键词】高阶 Cauchy中值定理 插值 

【出版日期】2005-05-25

【摘要】设Δn:a=x0 <x1<…<xn=b是[a,b]的一个分割,经典的Cauchy微分中值定理是建立在Δ1上的.采用Lagrange插值,得到了Δn上的高阶Cauchy微分中值定理.

【刊名】数学的实践与认识

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1 引言及主要结论在一元微积分中 ,Rolle定理 ,Lagrange中值定理以及更广泛的 Cauchy中值定理统称为微分中值定理 ,它们是联结函数值与其导数之间的桥梁 ,它们在函数不等式等领域有着相当重要应用 .[1 ]综述了微分中值定理的各种推广 .这些推广大致可分为两类 :一类是将闭区间推广为开区间或无穷区间 ;另一类则是把可微性概念加以拓宽或者是增加函数的个数 ,然后推广微分中值定理 .由于 Rolle定理 ,Lagrange中值定理都是 Cauchy中值定理的特殊情形 ,因此只需将 Cauchy中值定理加以推广 .设 [a,b]是一有限的闭区间 ,Δn:a =x0 <x1 <… <xn=b是 [a,b]的一个分割 ,经典的微分中值定理即是建立在Δ1 上的 .本文的目的是建立Δn 上的高阶微分中值定理 .我们得到了如下的结论 .定理 设 f( x) ,g( x)在 [a,b]上连续 ,在 ( a,b)内 n次可导 ,且当 x∈ ( a,b)时 ,g(n) ( x)≠ 0 ,Δn 是 [a,b]的一个分割 .则存在ξ∈ ( a,b) ,使得f(n) (ξ)g(n) (ξ) =1 1… 1x0 x1 … xnx20 x21 … x2n…………xn- 1 0 xn- 1 1 … xn- 1 nf ( x0 ) f( x1 )… f( xn)1 1… 1x0 x1 … xnx20 x21 … x2n…………xn- 1 0 xn- 1 1 … xn- 1 ng( x0 ) g( x1 )… g( xn)( 1 )  同 [1 ]中的相关推广结果相比 ,上述的结论有着对称 ,简洁 ,条件较弱的特点 .2 引  理引理 1 [2 ]  设Δn是 [a,b]的一个分割 ,f( x)在 [a,b]上连续 ,在 ( a,b)内 n+ 1次可导 ,则存在唯一的次数不超过 n的多项式P( x) =∑ni=0ιi( x) f ( xi) ( 2 )其中ιi( x) =( x-x0 ) ( x-x1 )… ( x-xi- 1 ) ( x-xi+1 )… ( x-xn)( xi-x0 ) ( xi-x1 )… ( xi-xi- 1 ) ( xi-xi+1 )… ( xi-xn) =w( x)( x-xi) w′( xi) ( 3 )ω( x) =( x-x0 ) ( x-x1 )… ( x-xn) ( 4 )使得P( xi) =f( xi) ,  i =0 ,1 ,… ,n ( 5)f( x) -P( x) =f(n+1 ) (ξ)( n + 1 ) !ω( x) , ξ∈ ( a,b) ( 6)  引理 2 设 f( x)与λi( x) ( i =0 ,1 ,… ,n)在 [a,b]上连续 ,在 ( a,b)内 n次可导 ,Δn 是 [a,b]的一个分割 ,λi( xj) =δij,则存在ξ∈ ( a,b) ,使得f(n) (ξ) =∑ni=0f( xi)λ(n)i (ξ) ( 7)  证明 做辅助函数( x) =f( x) -∑ni=0f ( xi)λi( x)则( xi) =0 ,  i =0 ,1 ,… ,n反复运用 Rolle定理 ,可得 ,存在ξ∈ ( a,b) ,使得(n) (ξ) =f(n) (ξ) -∑ni=0f( xi)λi(n) (ξ) =0即f(n) (ξ) =∑ni=0f ( xi)λi(n) (ξ)  引理 3 设 f( x)在 [a,b]上连续 ,在 ( a,b)内 n次可导 ,Δn是 [a,b]的一个分割 ,则存在ξ∈ ( a,b) ,使得f(n) (ξ) =n!∏n i>j 0( xi -xj)1 1… 1x0 x1 … xnx20 x21 … x2n…………xn- 1 0 xn- 1 1 … xn- 1 nf( x0 ) f( x1 )… f( xn)( 8)  证明 注意到 ( 3 )式 ,令λi( x) =ιi( x) ,i=0 ,1 ,… ,n,显然λi( xj) =δij,根据引理 2 ,并注意到λi( x)是一 n次多项式 ,则有ξ∈ ( a,b) ,使得f(n) (ξ) =∑ni=0f( xi) n!ω′( xi) ( 9)V[x0 ,x1 ,… ,xn] =1 1… 1x0 x1 … xnx20 x21 … x2n…………xn0 xn1 … xnn=∏n i>j 0( xi -xj)为 n + 1阶的 Vandermonde行列式 ,并记 D为 ( 8)右端的行列式 ,将 D按最后一行展开得D=∑ni=0f( xi) ( -1 ) n+i+2 V[x0 ,x1 ,… ,xi- 1 ,xi+1 ,… ,xn]=∑ni=0f( xi) ( -1 ) n+i+2 V[x0 ,x1 ,… ,xn]( -1 ) n- iω′( xi)=∑ni=0f( xi) V[x0 ,x1 ,… ,xn]ω′( xi) ( 1 0 )联立 ( 9) ,( 1 0 ) ,即得f(n) (ξ) =n!V[x0 ,x1 ,… ,xn] D从而 ( 8)式成立 .3 定理的证明记 ( 1 )式右端分子与分母行列式分别为 Df,Dg,由引理 3 ,存在η∈ ( a,b) ,使得Dg =g(n) (η) ∏n i>j 0( xi -xj)n!≠ 0所以 ( 1 )式是有意义的 .令λi( x) =g( x) -∑nj=0 ,j≠ ig( xj) uj( x)g( xi) -∑nj=0 ,j≠ ig( xj) uj( xi),  i =0 ,1 ,… ,n ( 1 1 )这里uj( x) =∏nk=0k≠ i,jx -xkxj-xk,  j=0 ,1 ,… ,i -1 ,i + 1 ,… ,n ( 1 2 )∑nj=0 ,j≠ ig( xj) uj( x)实际上是过节点 ( xj,g( xj) ) nj=0 ,j≠ i 的 n -1次 Lagrange插值多项式 .注意到引理 1 ,易知 ( 1 1 )的分母是不为零的 .由 ( 1 1 )式易见λi( xj) =δij.由引理 2 ,存在ξ∈( a,b) ,使得f(n) (ξ) =∑ni=0f( xi)λ(n)i (ξ) =g(n) (ξ) ∑ni=0f( xi)g( xi) -∑nj=0 ,j≠ ig( xj) uj( xi)于是f(n) (ξ)g(n) (ξ) =∑ni=0f( xi)g( xi) -∑nj=0 ,j≠ ig( xj) uj( xi)( 1 3 )另一方面Df Dg=∑ni=0f (xi) (-1 ) n+i+2 V[x0 ,x1 ,… ,xi- 1 ,xi+1 ,xn]∑nj=0g(xj) (-1 ) n+j+2 V[x0 ,x1 ,… ,xj- 1 ,xj+1 ,… ,xn]=∑ni=0f (xi)g(xi) +∑nj=0 ,j≠ i(-1 ) j- ig(xj) V[x0 ,x1 ,… ,xj- 1 ,xj+1 ,… ,xn]V[x0 ,x1 ,… ,xi- 1 ,xi+1 ,… ,xn]=∑ni=0f (xi)g(xi) +∑nj=0 ,j≠ i(-1 ) j- ig(xj) (-1 ) n- i(xi-x0 ) (xi-x1 )… (xi-xi- 1 ) (xi-xi+1 )… (xi-xn)(-1 ) n- j(xj-x0 ) (xj-x1 )… (xj-xj- 1 ) (xj-xj+1 )… (xj-xn)=∑ni=0f (xi)g(xi) -∑nj=0 ,j≠ ig(xj) ∏nk=0 ,k≠ i,jxi-xkxj-xk=∑ni=0f (xi)g(xi) -∑nj=0 ,j≠ ig(xj) uj(xi)(1 4)联立 ( 1 3 ) ,( 1 4 )即得 ( 1 )式成立 .最后举一例子 ,说明本文结果的应用 .例 证明存在ξ∈ ( 0 ,π/ 2 ) ,使得π2 cos1 + 1 -π2 sinξ =π2 sin1 -1 cosξ  证明 令 f( x) =sinx,g( x) =cosx.取 x0 =0 ,x1 =1 ,x2 =π/ 2 ,由本文的定理 (即( 1 )式 )知 ,存在ξ∈ ( 0 ,π/ 2 )使得f″(ξ)g″(ξ) =1 1 10 1 π2f( 0 ) f( 1 ) f π21 1 10 1 π2g( 0 ) g( 1 ) g π2或-sinξ-cosξ=1 1 10 1 π20 sin1 11 1 10 1 π21 cos1 0化简得sinξcosξ=π2 sin1 -1π2 cos1 -π2 + 1从而π2 cos1 + 1 -π2 sinξ =π2 sin1 -1 cosCAUCHY微分中值定理的推广@甘小冰$深圳大学管理学院信息与系统管理系!深圳518060 @陈之兵$深圳大学师范学院数学系!深圳518060高阶;;Cauchy中值定理;;插值设Δn:a=x0 <x1<…<xn=b是[a,b]的一个分割,经典的Cauchy微分中值定理是建立在Δ1上的.采用Lagrange插值,得到了Δn上的高阶Cauchy微分中值定理.[1] 汪林等.数学分析问题研究与评注[M].科学出版社,1995. [2] StoerJ,BulirschR.Introduction toNumericalAnalysis[M].Springer-Verlag,NewYork,1993. [3] 常庚哲,史济怀.数学分析教程[M].江苏教育出版社,1998.

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