关于预不变凸函数的某些注记

作者:闫凯; 刊名:重庆师范大学学报(自然科学版) 上传者:胡海莲

【摘要】【目的】对已有文献的一些不足进行修正。【方法】利用条件C的性质以及对特殊点的构造来完成证明。【结果】针对不足的地方给出了更严密的证明。【结论】严格说明了半严格预拟不变凸函数是预不变凸函数的充分条件。

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凸性在非线性规划最优性条件、对偶性等方面具有非常重要的作用。然而,大量实际问题形成的数学模型常常不能满足凸性条件。于是,引进各种广义凸性,推广凸函数具有的、与数学规划相关联的基本性质非常必要。1981年,为推广KKT条件的充分性,Hanson[1]第一个提出不变凸概念,后来被Cravel[2]正式命名为“invex”。不变凸函数是对凸函数的重要补充,它继承了凸函数的许多良好性质(如局部极小点是全局极小点等),因此通过对不变凸性的研究可以推广凸性的已有结果,进而解决非线性规划中最优解的充分性、对偶性等问题,对数学规划理论及应用都有着至关重要的作用。1988年,Weir与Mond[3]以及Weir与Jeyakumar[4]引入了预不变凸函数的概念,并且给出了优化问题的最优性条件与Lagrange对偶结果。1991年,Pini[5]进一步将拟不变凸和伪不变凸函数推广到不可微情形,定义了预拟不变凸和预伪不变凸函数,并证明了可微的预不变凸函数是不变凸函数。为了研究不变凸性与预不变凸性的关系,1995年Mohan和Neng[6]引入条件C,证明了在条件C下,不变凸函数是预不变凸函数。2001年,Yang和Li[7-8]建立了许多关于预不变凸函数和半严格预不变凸函数的重要刻画。2012年,Yang J和Yang X[9]刻画了预不变凸函数与半严格预拟不变凸函数之间的等价关系,但证明过程存在不足,本文对此作出修正。本文首先指出文献[9]中定理2的证明存在不足,在f(x)=f(y)情形下,对0<β<α<1情况中的u给出更合理的取值。本文是对文献[9]中相应内容的修正。1预备知识首先对文中出现的符号进行说明:Rn表示n维欧氏空间,η:Rn×Rn→Rn,≠KRn。定义1[9]称K是关于η的不变凸集,若x,y∈K,α∈[0,1],λ∈[0,1],有y+λη(x,y)∈K。定义2[9]设K是关于η的不变凸集,称函数f:K→R是关于η的预不变凸函数,若:f(y+λη(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y),x,y∈K,λ∈[0,1]。条件C[9]称η满足条件C,若x,y∈K,λ∈[0,1],有如下式子成立:(C1)η(y,y+λη(x,y))=-λη(x,y);(C2)η(x,y+λη(x,y))=(1-λ)η(x,y)。定义3[9]设K是关于η的不变凸集,称f:K→R是关于η的预拟不变凸函数,若:f(y+λη(x,y))≤max{f(x),f(y)},x,y∈K,λ∈[0,1]。关于条件C,有如下重要性质。性质1[10]设η满足条件C,则:η(y+λ1η(x,y),y+λ2η(x,y))=(λ1-λ2)η(x,y),x,y∈K,λ1,λ2∈[0,1]。定义4[9]设K是不变凸集,称实值函数f是K上关于η的半严格预拟不变凸函数,若f(y+λη(x,y))<max{f(x),f(y)},λ∈[0,1],x,y∈K,f(x)≠f(y)。2主要结果以下定理是文献[9]的主要结果。定理1[9]设KRn是关于η:Rn×Rn→Rn的不变凸集,其中η满足条件C。若f:K→R满足f(y+η(x,y))≤f(x),x,y∈K,则f是K上关于η的预不变凸函数当且仅当f是关于相同η的半严格预拟不变凸函数,且存在α∈(0,1)使得f(y+αη(x,y))≤αf(x)+(1-α)f(y),x,y∈K。文献[9]中定理2.1的充分性证明过程中,在f(x)=f(y)前提下,当α,β满足0<β<α<1时,取u=β1-α,显然u可能会大于1,进而无法使用条件C。因此本文给

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