2017年高考数学全国卷Ⅲ理科第20题解法探析

作者:曾心鹉;王佩 刊名:理科考试研究(高中版) 上传者:吴德英

【摘要】本文以2017年高考数学全国卷Ⅲ理科第20题为例,从试题呈现与简评、解题思路的分析与探究、试题的阅卷分析等角度进行了研究.

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2017 年高考数学全国卷Ⅲ理科第 20 题解法探析 四 川 省 资 阳 市 伍 隍 中 学 641300 曾心鹉 四川师范大学数学与软件科学学院 610068 王 佩 摘 要:本文以 2017年高考数学全国卷Ⅲ理科第 20 题为例,从试题呈现与简评、解题思路的分析与探究、试题的 阅卷分析等角度进行了研究. 关键词:高考数学;思路分析;阅卷分析 作者简介:曾心鹉(1992 -),男,四川资阳人,本科,中学二级教师,研究方向:高考数学; 王佩(1990 -),女,四川资中人,硕士研究生在读,研究方向:数学教育. 一、试题呈现与简评 题目 (2017 年高考数学全国卷Ⅲ理科第 20 题)已知抛物线 C∶y2 =2x,过点(2,0)的直线 l交 C于 A,B两点,圆 M是以线段 AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O在圆 M上; (2)设圆 M过点 P(4, -2),求直线 l 与圆 M 的 方程. 简评 此题主要结合直线与抛物线位置关系考 查圆的方程和直线方程,涉及的知识点有韦达定理、 求根公式、平面向量的数量积、两点间距离公式、勾股 定理、直径所对的圆周角等于 90°、圆的标准方程等. 将以上知识点有选择性的“组合”使用时,则需要学生 在抽象的符号语言、直观的图形语言、量化的代数语 言和普通的自然语言间相互表征与互译互化[1].下面 拟从思路与解法探究方面对此题作一番研究,以期为 一线老师在平日解题教学中,提供多角度、多立场的 变式教学素材,培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活 性、独创性等. 二、解题思路的分析与探究 1.第(1)问的思路分析与探究 分析与探究 1 欲证坐标原点 O在圆 M上,很自 然地联想到,将圆 M 的方程求出来,然后验证原点 O 0,0 是否满足圆的方程即可. 设点 A,B 的坐标为 A x1 ,y1 ,B x2,y2 ,直线 l 的点斜式方程为 y -y0 =k(x -x0 ),由于直线 l 过点 (2,0),因此 l的方程为 y=k(x-2). 下面分别讨论斜率 k不存在和存在的情况. 当斜率 k不存在时,直线 l的方程为 x=2,此时直 线 x=2与抛物线 C有两个交点,分别为(2,2)与(2, -2),原点在以它们为直径的圆上,符合题意. 当斜率 k 存在时,对斜率 k 是否等于零进行讨 论,若 k=0,则直线 l与抛物线 C 只有一个交点,不符 题意,所以 k≠0. 下面讨论 k为非零实数的情形. 联立方程组 y=k(x-2), y2 =2x, 整理得 k2x2 -(4k2 + 2)x+4k2 =0.由韦达定理,则 x1 +x2 =4k 2 +2 k2 ,x1x2 = 4,由 x=yk +2 y2 =2x 得 ky2 -2y -4k =0,则 y1 +y2 =2k , y1y2 =-4,因为圆 M 是以线段 AB 为直径的圆,所以 线段 AB 的中点即是圆 M 的圆心.根据中点坐标公 式,得圆心坐标为 x1 +x2 2 , y1 +y2 2 ,即(2k 2 +1 k2 , 1 k ). 由 A、B两点间距离公式得 AB = (x1 -x2 )2 +(y1 -y2 )2 , 整理得(x1 -x2 )2 =(x1 +x2 )2 -4x1x2 =16k 2 +4 k4 , (y1 -y2 )2 =(y1 +y2 )2 -4y1y2 =16k 2 +4 k2 . 因此 AB =2 1 +5k 2 +4k4 k2 .故圆 M的半径 r = AB 2 = 1 +5k2 +4k4 k2 ,所以圆 M的标准方程为

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