关于m-算数调和函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

作者:冀爱萍 刊名:内蒙古民族大学学报(自然科学版) 上传者:车晓军

【摘要】在分析不等式中,凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式占有十分重要的地位.目前,凸函数理论中的一个热门研究课题为对经典凸函数概念进行推广,并研究其各类Hermite-Hadamard型积分不等式及其应用问题.本文建立了m-算数调和凸函数的概念,利用m-算数调和凸函数的性质和H lder积分不等式,得到了m-算数调和凸函数的几个Hermite-Hadamard型积分不等式.

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1引言文1中定义了m-凸函数.定义1.1设f:[0,b]R,若对任意的x,y[0,b],t[0,1],不等式f(tx+m(1-t)y)tf(x)+m(1-t)f(y)成立,则称f(x)为区间[0,b]上的m-凸函数.在文2中,建立了如下的m-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式.定理1.2设f:R0=[0,+)R是m-凸函数,m(0,1].若对0a0,则H1(r,s)=01tdtts+m(1-t)r=s-mr+mrln(mrs)(s-mr)2,s-mr0,1/2mr,s-mr=0,(2.3)H2(r,s)=01dtts+m(1-t)r=lns-lnmss-mr,r-ms0,1mr,s-mr=0.(2.4)3主要结论定理3.1设f:[0,b]R+在(0,b)内是可微函数,0a1,(1/p)+(1/q)=1,则|1b-aabf(y)dy-f(x)1(1+p)1p(x-a)2b-a(H2(uq,wq(x)))1q+(b-x)2b-a(H2(uq,wq(x)))1q,(3.10)其中H2(r,s)为引理2.3所定义,u,v,w与(3.2)相同.证由引理2.1和||f(x)q为区间[]a,b/m上的m-算数调和凸函数,利用Hlder不等式,有|1b-aabf(y)dy-f(x)(x-a)2b-a01t||f(tx+(1-t)a)dt+(b-x)2b-a01t||f(tx+(1-t)b)dt(x-a)2b-a01tpdt1p01||f(tx+m(1-t)am)qdt1q+(b-x)2b-a01tpdt1p01||f(tx+m(1-t)bm)qdt1q(x-ma)2b-a1(1+p)1p01dtt||f(x)-q+m(1-t)||f(am)-q1q+(b-x)2b-a1(1+p)1p01dtt||f(x)-q+m(1-t)||f(bm)-q1q=1(1+p)1p(x-a)2b-a(H2(u,w(x)))1q+(b-x)2b-a(H2(v,w(x)))1q.推论3.3.1在定理3.3的条件下,(1)若x=a,则|1b-aabf(y)dy-f(a)b-a(1+p)1p(H2(uq,wq(x)))1q.(3.11)(2)若x=b,则|1b-aabf(y)dy-f(b)b-a(1+p)1p(H2(uq,wq(b)))1q.(3.12)(3)若x=a+b2,则|1b-aabf(y)dy-f(a+b2)b-a4(1+p)1p()(H2(uq,wq(a+b2)))1q+(H2(vq,wq(a+b2)))1q.(3.13)关于m-算数调和函数的Hermite-Hadamard型积分不等式@冀爱萍$内蒙古民族大学数学学院!内蒙古通辽028043在分析不等式中,凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式占有十分重要的地位.目前,凸函数理论中的一个热门研究课题为对经典凸函数概念进行推广,并研究其各类Hermite-Hadamard型积分不等式及其应用问题.本文建立了m-算数调和凸函数的概念,利用m-算数调和凸函数的性质和Hlder积分不等式,得到了m-算数调和凸函数的几个Hermite-Hadamard型积分不等式.m-算数调和凸函数;;Hermite-Hadamard型积分不等式1GToader.SomegeneralizationsoftheconvexityA.inProceedingsoftheColloquiumonApproximationandOptimizationC.Univ.Cluj-Napoca,Cluj-Napoca,1985.32

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