探析“2014年高考理科数学试卷导数压轴题”

作者:王慧兴;王雪芹 刊名:《高中数理化》 上传者:杨万容

【摘要】2014年全国高考理科数学试卷命题遵循"有利于推进素质教育,有利于高校选拔新生,有利于促进中学数学教学"的基本原则,均以导数应用作为压轴试题,突出考查构建新函数,化归转化的基本数学思想方法,体现灵活探究与变式构建,对学生数学思想方法的积淀以及数学素养要求较高,发挥区分、承载选拔的功能,但不是让学生感觉到"不可一试".笔者按自己的解答撰文评析,供读者参考.

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< ; (3)设 z∈R,记 Ex]为 不 小 于 z 的最 小 整 数 ,例 如[2]一2,[兀]一4,[一要]一一1.令s一河 + + +⋯+洒 ,求Es]的值.(参考数据:8oi4≈ 344.7,81号≈350 . 5,124i4≈ 618 . 3,126号≈ 631. 7). Q (1)-厂 (z)一(r+1)(1+ ) 一(r+1)一(r+ / 。解析 1)[(1+ )r一1],所 以 ( )在 (一1,O)上单 调递减 ,在(O,+。。)上单调递增.f (z)一厂(O)一0. (2) 由 (1)知 当 > 一 1 时 ,(1+ z) > (r+1)z+1(tA努利 不等 式 ),所证 不 等式 可化 为 f 72 + 一 (r+ 1) <:(,z一 1) + , I + +(r+1) <:( +1) + . 若 ,z≥ 2,则 一 (r+ 1) < ( 一 1) ,所 以 (nr1)< (1一 )r(n1),所 以 1一—r_<(1一 )r. ① 因为(1一 )r>1一 ,~ >一—r_ ,所以 (1一 ) > 1一 -C . > I— ,故 ①式 成 立. — l 若 =:=1, ~(r+1) < (n一1) 显然 成立 . + (r+ 1)n < ( + 1) ‘r ㈢ ,z+ r+ 1< (1+ ) (,z+1)甘1+ r_<(1+ T/) , ② 1-l 因为 (1+ ) > 一r+ 1, > — ,所 以 (1+ n _f_l 去) >孝+1>1+ r_,②式成立.故原不等式成立. (3)由(2)知,当k∈N 时,尊[愚}一(k1)号]< 忌{<导[(走+1)号k~],所以 一 (尼一 1)亏]≈ 210.225 是+ 1)号——是i4]≈ 210.9, 所 以[S]一211. 妻 ’ , S 替换 成 1/n和 一1/ 即可 ,第 (3)问 需要用 k和 1/3分 别赋值替换 和r,羊[愚号一(k1)号]<忌÷<羊[(是+ 1)告一五号],再 用 叠加 法求 和 . (作 者单 位 :湖北 省武 汉 市黄 陂一 中盘龙 校 区) 探析 “201 4年高考 理科数学试 导数压轴题 ◇ 北京 王 慧兴 王 雪芹 (特级 教师) 2014年 全 国高考 理科 数学 试卷 命题 遵循 “有 利 于 推进素质教育,有利于高校选拔新生 ,有利 于促 进 中 学数学教学”的基本原则 ,均以导数应用作 为压轴试 题 ,突 出考查 构 建 新 函数 ,化 归转 化 的基 本 数 学 思 想 方法 ,体现灵活探究与变式构建 ,对学 生数 学思想方 法的积淀以及数学素养要求较高 ,发挥 区分 、承载选 拔的功能,但不是让学生感觉 到“不可一试 ”.笔者按 自己的解答撰文评析 ,供读者参考. 。●■ 墨 例 1 (2014 年 新 课 标 理 )设 函 数 f( )一 厶 ^ 1 ne in + ,曲线 Y一厂(z)在 点 T(1, (1))处 的 切线方程为 =e(1z~1)+2. (1)求 n、b的值 ; (2)证 明 :厂(z)>1. Q (1)n一1,6—2. , 解析 (2)一般地 ,本题我们可化归为证明 厂(z)一 9 1 e ln z+ 的最小值 f (z)> 1;但需要求 导函数 上 f (z)一e (1n z+ + 一 )的零 点 ,要 解 “超 越 工 C I』 e.Y 方 程”e.z。In z+ez+2z一2—0.此 时学 生不 能操作 ,容 易陷入绝境 !所以(2)目的是考查学生化归转化 的能 力 ,但如何转化?这就要求考

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