边界元法用于含有相变的三维瞬态温度场分析

作者:尚晓天;李鸿宝 刊名:机械强度 上传者:李贵章

【摘要】论述了边界元法用于含有相变的三维瞬态温度场分析中的理论;详细推导了边界元法用于计算中的公式:对高斯积分计算、时间步长选取及其对计算精度的影响进行了深入的研究;还讨论了多种材料的耦合分析以及相变潜热释放等问题。根据自编的三维瞬态温度场边界元法分析程序所做的数值验证,以及和有限元法计算对比的结果表明:在三维瞬态温度场计算中,边界元法不仅是有效的,而且可以比有限元法得到更好的效果。

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(一)三维瞬态温度场计算的边界元法,.三维瞬态温度场边界积分方程的建立三维瞬态温度场的控制方程为:,镖一KD’T(1)其中P,、,K分别为材料密度、比热及导热系数。边界条件在边界r:上:1丁以考虑以下三种:(l)01“e川et条件:T一了,在边界刀上;(2)Neumann条件:q二仔(3)Robin条件:?二h(不一T),在边界r,上。,其中确材料导温系数乙为环境温度、一镖。初始条件为T二T。,在区域Q内。对方程(I)应用加权余量法得到;!:’L(KD乍一,季:.dQdt一1::{:.(T一,)。.dr*一!:…J;‘;一d)T,dr*一r加;一*(T,一:):,dr*。2)其中T.,q,分别为温度和热流基本解。对方程(2)使用两次分步积分得到:。乙一别r;广’‘dr一声Jr可,‘如dr十‘!。厂r’。’了一(3)其呼C‘二limJ‘Jr一,一“‘dr山c,在温度剖分取常单元时,根据i是内部点还是边界点,分别等于l和‘0.5。在处理‘3)式中的时间项时选用文献1提供的包含时间在内的基本解,所以关于时间项的积分可以解析地计算出来,而不必采用差分格式去近似。这样,在计算中允许选用较大的时间步长,和选取较粗的剖分网格,这一特点在瞬态温度场分析中是非常重要的。基本解的具体形式为:,_一~鲤几一T.=攫枷4才a(r一r,)’‘22才凡尺e油。一州RJ(4)4才a(r一r.),‘’el的一卜’第12卷第4期边界元法用于含有相变的三维瞬态温度场分析其中。一K/pC为散热率,R为热源点到所考虑点之间的距离。r‘和q.关于时间的积分计算遂为’!卜*-,!:砂dI-六。卜erf(丫刃2万J/公R、瓷、…+曹。卜一f(扣),其中a~R24a(11一t:)把这个结果代入到方程(3)中得到:c。:‘:渝!,‘贵卜erf(扣)dr一:异!麟:‘’、一+曹仁卜erf西):,dr+磕台万下{多“一,dQ(6)2.离散模型在建立离散模型时,温度离散采用了常单元,这种单元的计算精度可以满足要求;几何离散采用了线性单元,从而较好地模拟了物体的几何形体。其中边界几何剖分采用四节点线性单元,区域几何剖分采用八节点线性单元。把物体边界离散为n个边界积分单元,域内离散为m个积分体元后,则方程(6)的矩阵形式为:c,T‘’‘艺瓦,兀‘斗艺GJ好+艺几.兀‘’声呢I奋=l其中厌,一料辈澎‘扣一+誉仁‘一f‘西,,‘r。,一渝!。扣一erf(、jdr‘’‘一丽淤;万万苏1。:e一(7)对边界单元温度节点,有方程也5兀‘,一艺两,T,‘:一艺。iq夕十艺月.几犷J=,j二I盖二,对体单元温度节点,有方程(8)=艺凡,不矛=l‘’+艺阮,q,‘+艺只.几‘,(9)方程(8)用来求解边界温度和热流,在边界温度和热流计算出来以后,可利用式(9)计算内部单元的温度。3.奇异积分计算在边界元法系数矩阵中,积分核具有奇异性的是G:的对角线元素,需要用奇异积分的方法进行计算,其它元素均可在采用等参变换后,直接用高斯积分进行计算。奇异积分的计算选用文献2提出的极三角形变换法。这种方法的思路是首先对积分区域进行变换,使得积分核在新的积分区域内形式上奇异性消失,然后用高斯积分计算其积分柯西主值。4.系数矩阵的简化在计算中形成系数矩阵和解线性方程组占用了几乎所有的计算时间。以系数矩阵的计算式中可以看到,积分号里的a次始终以乘积的形式出现。如果在每一步计算中保持a次不变,则系数矩阵在整个计算中可只计算一次,但由于它是一个非对称的满阵,尤其是在采用多点高斯积分公式计算时,仍需花费很多计算时间,而每一时间步都要解一次线性方程组

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