关于F.Smarandache的一个问题

资源类型:pdf 资源大小:276.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:杨爱霞

文档信息

【作者】 高楠  刘红艳 

【关键词】整数分拆 方程 解数 下界 

【出版日期】2005-05-25

【摘要】F.Smarandache教授曾提出求最大的正整数r,将集合{1 ,2 ,…,r}分为n类,使得在每一类中方程xy =z(x >1 ,y >1 )无解.确立并证明了r的下界,即r n9.

【刊名】数学的实践与认识

全文阅读

1 引言及结论设 n,r为正整数 ,罗马尼亚数论专家 F.Smarandache教授在文献 [1 ]的第 57个问题中提出求最大的整数 r,使得将集合 { 1 ,2 ,… ,r}分为 n个子集 ,在每个子集中 ,方程 xy =z均无解 .关于这一问题 ,至今似乎没有人进行研究 ,甚至不知道它的下界是什么 .本文利用初等方法讨论了这一问题 ,并证明了下面的 :定理 对上述 r及任意充分大的正整数 n,我们有估计式 r n9.2 定理的证明现在我们直接给出定理的证明 ,取 r=n9,并将集合 { 1 ,2 ,… ,r} ={ 1 ,2 ,… ,n9}分为如下 n类 :第 1类 :1 ,n4,n4+ 1 ,… ,n8.第 2类 :2 ,n8+ 1 ,n8+ 2 ,… ,2 n8.第 3类 :3 ,2 n8+ 1 2 n8+ 2… 3 n8.  彽?n-4类 :n-4 ,( n-5) n8+ 1 ,( n-5) n8+ 2 ,… ,( n-4 ) n8.第 n-3类 :n-3 ,( n-4 ) n8+ 1 ,( n-4 ) n8+ 2 ,… ,( n-3 ) n8,n4-3 n3+ 1 ,… ,n4-1 .第 n-2类 :n-2 ,( n-3 ) n8+ 1 ,( n-3 ) n8+ 2 ,… ,( n-2 ) n8,n3-n2 + 1 ,… ,n4-3 n3.第 n-1类 :n-1 ,( n-2 ) n8+ 1 ,( n-2 ) n8+ 2 ,… ,( n-1 ) n8,n2 + 1 ,… ,n3-n2 .第 n类 :n,( n-1 ) n8+ 1 ,( n-1 ) n8+ 2 ,… ,n9,n+ 1 ,… ,n2 .容易看出此分类可将 n9个数分完 ,将此分类记为 A.从分类中可知 :( i)第一类中的任意一个数可写为 ln4+ m( 0 l n4-1 ,1 m n4) ,因为1 ( ln + m) =ln + m而且第一类中不存在两两相等的数 ;又因为在第一类中不等于 1的最小的两个数是 n4,n4+ 1 ,最大的数是 n8,而n4( n4+ 1 ) >n8所以在第一类中方程 xy =z无解 ;( ii)当 2 k n -4时 ,第 k类中任意一个不等于 k的数可表示为 :( k -1 ) n8+ ln + m其中 0 l n7-1 ,1 m n.第 k类中最小的两个数是 k,( k -1 ) n8+ 1 ,最大的数是 kn8,因为k[( k -1 ) n8+ 1 ] >kn8所以第 k类中方程 xy =z也无解 ;( iii)第 n类 :在 n,( n -1 ) n8+ 1 ,… ,n9和 n + 1 ,… ,n2 中 :因为n[( n -1 ) n8+ 1 ] >n9,( n + 1 ) ( n + 2 ) >n2 ,n( n + 1 ) >n2 ,所以在 n类中方程 xy =z仍然无解 ;用同样的方法可证明在第 n -3 ,n -2 ,n -1类中方程也无解 .综合上述所证 ,如果取 r =n9,且把 { 1 ,2 ,… ,r}分为如 A的 n类 ,则在这样的每一类中方程 xy =z均无解 .这样关于 Smarandach第 57个问题我们有估计式 r n9.于是完成了定理的证明 .利用上面的构造方法我们可以提出下面的 :猜测 对任意给定的正整数 m,当 n充分大时有估计式r nm关于F.Smarandache的一个问题@高楠$西安石油大学理学院!陕西西安710065 @刘红艳$西安理工大学数学系!陕西西安710048整数分拆;;方程;;解数;;下界F.Smarandache教授曾提出求最大的正整数r,将集合{1 ,2 ,…,r}分为n类,使得在每一类中方程xy =z(x >1 ,y >1 )无解.确立并证明了r的下界,即r n9.[1] SmarandacheF.OnlyProblems,NotSolutions[M].Chicago:XiquanPublHouse,1993. [2] 潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,1992.

1

问答

我要提问