单摆的超大振幅振动

作者:王成会;莫润阳;边小兵 刊名:大学物理 上传者:张恒

【摘要】基于单摆的动力学方程和运动初始条件对单摆的大振幅振动进行了近似分析,介绍了一种估计摆振幅接近π的振动周期的解析方法.结果表明,当摆振幅小于2.8 rad时估计值偏离精确值较多,产生误差的原因在于采用了线性近似.

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第 35卷第 1期 2016年 1月 大 学 物 理 C0LLEGE PHYSICS Vo1.35 No.1 Jan.2016 单摆 的超大 振幅振动 王成会 ,莫润 阳,边小兵 (陕西师范 大学 物理学与信息技术学院 ,陕西 西 安 710062) 摘要 :基 于单摆的动力学方程 和运 动初始条件对单摆 的大振 幅振 动进行 了近似分析 ,介绍 了一种估计 摆振幅接 近 竹的振 动周 期的解析方法 .结果表 明 ,当摆振幅小 于 2.8 rad时估计值偏离精确值较多 ,产生误差 的原 因在于采用 了线性近似. 关键词 :单 摆 ;大振 幅振动 ;周期 中图分类号 :O 313 文献标 识码 :A 文章 编号 :1000—0712(2016)01—001l—o4 在给定竖直面内运动的单摆作为一种简单的物 理模型 ,对 学生认识 振动 现象具 有重要 的意义. 首先 ,摆 的运动现象在现实生活中很 常见 ,如秋千 、 钟摆 等.学 生 熟 悉 摆 的 运 动 情 景 ,从 摆 的运 动 人 手 构建 振 动物 理模 型有 利 于学 生认 识从 生 活到科 学 的 抽象过程和 方法 ,可 帮助学生构建科学思维.正 因 为如此 ,目前仍然有许 多从事物理教学和科研 的同 行 们 不 断 深 人 分 析摆 的运 动特 征 。 .实 际 生 活 中 地面上摆的运动受到很多因素的影响 ,如地球 自转 、 地球公转 、空气阻力 、悬线 弹性形变等 ,可是 当将摆 的运动转化成物理问题 时,通常忽略这些 因素 的影 响 ,将生活 中的摆抽象成 “理想摆 (单摆 )”,即 由一 根长度变化 以及质量 可忽略不计 的长 为 z的细线 (或轻 杆 )悬 挂 质 量 为 m 的摆 球 (质 点 )的运 动 ,只 考虑摆球受到悬线 (或轻杆 )拉力 和重力作用 的情 形 ,此时摆球 将在特定 的竖直 面 内沿圆弧运动.单 摆 的无阻尼振动的动力学方程为¨ + sin =0 (1) 式中∞:= /z,g为单摆所在位置的重力加速度. 当摆 角很 小 时 sin 0 0,此 时单 摆 的 周 期 可 表 示 为 To=2"rr/to。=2~4cg,单摆作简谐振动.随着最大摆 角 的增 加 ,单 摆 的振 动逐 渐从 线 性 区过 渡 到 非 线性 区 ,进 而可 能 产 生 “混 沌 ”现 象 .从 方 程 (1)可 以看 出 ,单摆 的运动从本质上讲是一个非线性过程 ,只有 摆角很小的前提 下才可看作线性运 动.实际上 ,自 然界存在的许多振动都处在非线性 区,让学生从直 观的摆运动人手了解振动 的非线性特征 ,有助于提 高学生分析问题和解决 问题 的能力.本文将介绍一 种分析刚性轻杆和小球构成的单摆其振动振幅接近 啊时 的近似 分析方 法 . 忽略单摆振动过程 中阻力的影响 ,系统机械能 守恒.若选取单摆平衡位置为重力势能零点 ,则有 +4to [sin (0/2)-sin (0o/2)】=0 (2) 上式即为摆角为 0 的单摆运 动角速度 0和角位移 0之间的关系式 ,进一步可得到单摆周期的计算式 : ?’0 d /sin (0o/2)一sin (0/2) 三r-==— —一 (3) 竹 √1一sin ( 0/2)sin 该式为一椭 圆积分 ],直接计算通 常 比较困难 ,需 要借助数学软件通过数值积分实现.为方便人们估 计单摆在大振幅振动时的周 期,需要对式 (1)和式 (2)做近似分析 ,如将 sin 0作泰勒展开保留角位移 0的高阶项 ,利用逐级近似法可在一定精 度

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