基于自适应Kalman滤波的边坡变形预测研究  

作者:胡自全;何秀凤 刊名:《测绘工程》 上传者:丁俊萍

【摘要】研究Kalman滤波和自适应Kalman滤波算法,结合边坡监测点的运动模型将其应用于边坡变形监测动态数据变形预测。利用小湾水电站二号山梁高边坡GPS监测数据进行实验研究。结果表明,自适应Kalman滤波在边坡三维形变预测及变形速率估算方面有很好的预测结果。

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使用Kalman滤波处理动态数据能够有效消除随机干扰噪声,取得接近真实的数据信息[1]。变形监测过程中,变形体均处于一个动态变化的过程[2-3],获得的监测数据,除包含变形过程中各监测试块变形体的变化状态外,还有各种干扰噪声。当采用Kalman滤波实时处理变形监测所获得实时数据,能够得到较好的效果[4-5]。近年来,工程界在多方面开展了关于Kalman滤波的研究工作,特别是在变形监测领域得到了广泛的应用[6-7]。Kalman滤波方程在应用过程中要求函数模型和随机模型可靠,估计方法合理。但是,变形监测过程中变形体一般都是无规则运动,因此,构造精确的函数模型非常困难。Kalman滤波应用中一般是基于验前统计信息来获取随机模型先验信息,在难以精确表征当前物理显示和观测显示新的情况下,任何统计信息都有可能失真[8-10]。在Kalman滤波过程中,由估计过程自适应地调整、更新先验信息的算法即是自适应Kalman滤波[1]。1 Kalman滤波方程Kalman滤波算法的系统状态方程和观测方程的离散化形式为[3]Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk,k-1Wk-1,Ζk=HkXk+Vk,k≥1烅烄烆.(1)并有Φk,k-1=I+A(tk)Δtk+o(tk),Γk,k-1=[I+A(tk)Δtk…]F(tk)Δtk=F(tk)Δtk+o(tk)烅烄烆.(2)式中:Xk为k时刻系统的状态向量,Φk,k-1为k-1到k时刻的系统状态转移矩阵,Γk,k-1为k-1到k时刻系统状态噪声输入矩阵,Ζk为k时刻系统观测向量,Hk为k时刻系统的观测矩阵,Wk-1为k-1时刻动态噪声向量,Vk为k时刻系统观测噪声[3]。根据最小方差线性递推估计,可以推算得到标准Kalman滤波的递推公式[3]。状态预测向量为珡Xk=Φk,k-1^Xk-1.(3)其协方差阵Σ珡Xk=Φk,k-1Σ^Xk-1ΦTk,k-1+Γk,k-1ΣWk-1ΓTk,k-1.(4)新息向量及其协方差矩阵珚Vk=Hk珡Xk-Lk,(5)Σ珚Vk=HkΣ珡XkHTk+Σk.(6)Kalman滤波增益矩阵Kk=Σ珡XkHTk(Σk+HkΣ珡XkHTk)-1.(7)状态估计向量的协方差阵Σ^Xk=I(-KkHk)Σ珡Xk.(8)状态估计向量^Xk=珡Xk+Kk(Lk-Hk珡Xk).(9)由式(3)知,当已知k-1时刻动态系统的状态Xk-1,令Wk-1=0,便可获得时刻k的状态预报值珡Xk。又由式(8)知,当k时刻对系统进行观测Lk后,可利用观测量对预报值进行修正,得到k时刻系统的状态估计值^Xk,如此反复进行递推式预报与滤波[3]。因此,在给定了初值^X0和Σ^X0后,根据式(3)~(9)进行递推计算,即可实现滤波。2自适应Kalman滤波算法自适应滤波解的极值形式为[1]Ωk=VTk珚Σ-1kVk+αkVT珡XkΣ-1珡XkV珡Xk-2λTk(Hk^Xk-Lk-Vk)=min.(10)式中:珚Σk为观测向量的等价协方差矩阵,它可以通过双因子方差-协方差膨胀模型获得,λk为拉格朗日乘数向量[1]。对Vk和^Xk求导,并令其倒数为0。ΩkVk=2VTk珚Σ-1k+2λTk=0,(11)Ωk^Xk=2αkVT珡XkΣ-1珡Xk-2λTkHk=0.(12)求得Vk=-珚Σkλk,(13)V珡Xk=1αkΣ珡XkHTkλk.(14)代入观测方程λk=(1αkHkΣ珡XkHTk+珚Σk)-1(Lk-Hk珡Xk).(15)代入式(14)得^Xk=珡Xk+1αkΣ珡XkHTk(1αkHkΣ珡XkHTk+珚Σk)-1(Lk-H

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