基础位移激励下包装系统的非线性振动分析

作者:杨冰;卢立新 刊名:包装工程 上传者:杨捷

【摘要】包装系统的振动特性是研究其共振频率和振动过程中所受动态载荷的基础。用三次多项式函数表征包装系统非线性弹性力,建立了基础位移激励下包装系统的非线性动力学方程,分别用谐波平衡法和直接数值积分法研究了其非线性动力响应特征,得出了频响函数和幅频曲线,并揭示了忽略包装系统弹性力的非线性会导致振动分析的显著误差。分析理论和方法为预测包装系统共振频率以及振动过程中受到的动态载荷提供技术基础。

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包装件在流通过程中,冲击和振动是导致其损坏的两个主要动力学因素。随着现代化搬运机械的应用,包装件在流通过程中发生跌落的几率将越来越低,冲击对瓦楞纸箱的影响也就越来越小。而运输过程中振动的激励,使处于堆码底层的包装件受到的动态载荷远远大于其静止状态下所受的静态载荷,这可能直接导致包装件损坏。在工程实际中对包装件振动特性进行分析时,为了降低理论难度,减少分析计算的工作量,通常忽略其非线性特征,从而不可避免地使设计和分析结果出现误差。国外学者早在20世纪80年代就开始了相关研究,Peleg[1]考虑到包装件在振动过程中会相互发生干摩擦,建立了具有三次函数弹性、线性粘滞阻尼和库仑阻尼的振动模型,并使用Ritz法求其近似解,得出的解在退化为线性解时出现了误差;Urban-ik[4]采用分段非线性化法对瓦楞纸箱包装件的非线性振动进行了研究。国内学者王志伟研究了具有粘滞阻尼和三次函数强非线性弹性缓冲包装系统的跌落冲击响应[5];杨小俊和奚德昌对立方非线性包装系统进行了计算机仿真和分析[6]。本文采用三次多项式函数描述瓦楞纸箱的非线性弹性力,建立了瓦楞纸箱的非线性动力学模型,用谐波平衡法导出了其频率响应函数和幅频曲线,并将其与数值积分得到的结果进行对比。1包装系统的非线性动力学方程包装系统可简化为的力学模型见图1,包装件的质量为图1包装件力学模型Fig.1Mechanicalmodelofpackagingsystemm;激励位移为x2=A2sin(t);响应位移为x1;粘性阻尼系数为c;对于非线性弹性力,只要选择合适的一次项和三次项系数,三次非线性方程可适合于现实中的大部分振动系统[1-3],故不失一般性。对于包装系统的非线性弹性力可用位移的三次多项式函数表示,记一次项系数为k,三次项系数为r。则包装系统受力-变形关系可表示为:F=cx.+kx+rx3(1)即可导出包装系统的非线性动力学方程:mx1+c[x.1-A2cos(t)]+k[x1-A2sin(t)]+r[x2-A2sin(t)]3=0(2)令20=km,=c2m0,=0,=rA22k,u=x1A2,=0t将之代入方程(2),可得无量纲化的包装系统非线性动力学方程:u+2[u.-cos()]+[u-sin()]+[u-sin()]3=0(3)式中:阻尼比;0固有圆频率;频率比;非线性系数。2包装系统响应的分析求解式(3)描述的是强迫振动下的单自由度非线性动力学系统,其中的大小表示非线性的强弱。包装系统在振动过程中的响应情况依赖于对方程(3)的求解。然而,对于形如式(3)存在外部激励的三次非线性微分方程,目前还不能求得其严格精确的解析解。为此本文通过谐波平衡法求式(3)的近似稳态周期解,进而导出其频率响应函数。令:y=u-sin()(4)将之代入式(3)得:y+2y.+y+y3=2sin()(5)在弱非线性(1)条件下,对式(5)中参数取不同值的情形进行大量数值积分,求得稳态响应并作傅立叶变换,结果表明,式(5)具有稳定的与激励等周期的稳态周期解,而且不论如何变化,响应的基频幅值远远大于其它频率(次谐波和超谐波)处的幅值;并且由于阻尼的存在,此稳态周期解与激励之间有一定的相位差。故可设式(5)稳态周期解的形式为:y=Bsin(+),将之代入式(5)并做等价变换得:-2Bsin()+2Bcos()+Bsin()+B3sin3()=2sim(-)(6)对式(6)进行化简,忽略三次谐波项,并令方程两端常数项和一次谐波项的系数分别相等,可得:B=2(1-2+3/4B2)2+(2)2=-arctan21-2+3/

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