随机环境中的两性Galton-Watson分枝过程

作者:马世霞 刊名:河北工业大学学报 上传者:刘俊英

【摘要】把两性的Galton-Watson分枝过程推广到比较一般的分枝模型,即随机环境中的两性Galton-Watson分枝过程.在该模型中,后代概率分布不再是i.i.d.的而是被一个平稳遍历的环境过程所控制,得到了判断过程必然灭绝与非必然灭绝的判定准则.

全文阅读

0引言两性的Galton-Watson分枝过程(简记BGWP)作为一种重要的两类型分枝模型是由Daley首次提出的[1],其模型定义如下:0=,+1,+1==1,,,,=0,1,2,.(1)+1=+1,+1,=0,1,2,.(2)其中是一个正整数,,,,,=0,1,;=1,2,是i.i.d.的取非负整数值的随机变量序列,表示第代的第个配对单位产生的雌性与雄性数,,表示第代的雌性与雄性数并形成=,个配对单位.配对函数:+++是取非负整数值的,关于每个自变量是单调非减的二元函数,并满足,.并且配对函数满足上可加性:=1,=1=1,,,+,=1,,.通常假定配对函数是上可加的,这表示配对函数越多配对的可能性越大,这是比较直观且符合实际的条件.在双性的Galton-Watson分枝过程的研究中大多数配对函数都是上可加的,Daley(1968)考虑了几个特殊的上可加配对函数:1,=min,forall,0,第1期马世霞:随机环境中的两性Galton-Watson分枝过程692,=min1,forall,0,3,=forall,0关于BGWP已有很多作者对其进行过研究[2-5],最近,Gonzlez[6]与Molina[7]等作者又建立了带移民的两性Galton-Watson分枝过程以及变化环境中的两性Galton-Watson分枝过程模型,对于这些比较复杂的模型,首先讨论的是其灭绝概率准则,在其基础上,进一步研究其极限行为.本文考虑随机环境中的两性Galton-Watson分枝过程模型(简记BGWPRE),其中后代概率分布受一个随机环境过程所控制,本文假设环境过程是一般的平稳遍历过程,得到了判断过程必然灭绝与非必然灭绝的判定准则.对于独立同分布环境下的两性分枝过程模型,作者在文献[8]中已有研究.1概率模型定义设,,是给定的概率空间,,是一抽象的可测空间.==0是从,,映射到,上的无穷维环境序列.假设==0是一般的平稳遍历过程.设,表示第代中的一个配对单位在环境变量的条件下产生个雌性和个雄性个体的条件概率,相应的概率母函数为1,2=,=0,12,01,21.令0=,+1,+1==1,,=0,1,2,(3)+1=+1,+1,=0,1,2,(4)其中,在给定环境变量,=0,1,2,,的条件下,,是i.i.d.的取非负整数值的随机变量,表示第代的第个配对单位产生的雌性与雄性数具有概率母函数1,2,配对函数:+++关于每个自变量是单调非减的二元函数,并满足,.相应地,,表示第代的雌性与雄性数并形成=,个配对单位.以此由两类型分枝模型,产生的分枝过程,称为随机环境中的两性Galton-Watson分枝过程(简记BGWPRE).容易验证过程,=0与=0不再是时间齐次的马氏链.而且,由0,0=0可知0是过程的吸收状态.本文也假设配对函数,具有上可加性,即对任意整数2,,满足=1,=1=1,,,+,=1,2,.注如果环境过程是i.i.d.的,可以验证,=0与=0是时间齐次的马氏链[9],但是,如果环境过程是平稳遍历过程,则,=0与=0不具有马氏性[10].令:=0,1,,,:=0,,,0,1,,,.1:=1,1表示由第代的同一个配对单位产生的后代数形成的配对个数,在环境变量的条件下,1的条件概率母函数表示为=0,1,.当给定环境且人口数等于时,的条件概率母函数表示为,:=+1=,=,令,:=,1/.显然,1=,,其中,:=1+1=,=,=0,1,,=1,2,.引理1对于上可加的BGWPRE,有:=lim,=inf>0,,0,1,.引理2对于上可加的BGWPRE,则70河北

参考文献

引证文献

问答

我要提问