随机环境中具有迁入的分枝过程的时序估计量的性质

作者:胡杨利;申志;汪和松 刊名:经济数学 上传者:吴桐

【摘要】讨论时序估计量^m(c)~、m(c)期望、方差,得出估计量^2σn的渐近性质和估计量^mNc的一致渐近正态性.

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1预备知识设(,F,P)是一概率空间,(,B)是一给定的可测空间,{p(),}是一族非负整数集上的概率分布列,满足i=0ipi()i}+cI{Nc=i})(Xi-mXi-1-Yi).2.非渐近性结果定理1对任意的c>0,有P(Nc>)=1,(2)E^m(c)=m,m>0,(3)E[^m(c)-m]21c.(4)证式(2)易证.对式(3),由(1)Nc-1^m(c)-m=i=1(Xi-mXi-1-Yi)+c(XNc-mXNc-1-YNc)c2=(c)c2.(5)记(c)=i=1Vii,(6)其中Vi=(I{Nc>i}+cI{Nc=i})ui,i=i/ui0,ui0ui=0,i=Xi-mXi-1-Yi,ui=Xi-1.易证{Nc>i}和cI{Nc=i}关于Fi-1可测,于是有Vi是Fi-1可测的,而且由式(1)和c(0,1]有i=1V2i=i=1(I{Nc>i}+2cI{Nc=i})Xi-1HNc-1+cXNc-1=c2.(7)又由于对任意的n1,有E(i|Fi-1)=1uiEXi-1k=1k,i-1|Fi-1-mXi-1=1uiXi-1k=1E(k,i-1|Fi-1)-mXi-1=1uiXi-1k=1Ek,i-1-mXi-1=0.(8)所以,En+1i=1Vii|Fn=ni=1Vii+Vn+1E(n+1|Fn)=ni=1Vii.nEi=1Vii=ni=1E[ViE(i|Fi-1)]=0,nEi=1Vii2=Eni=1V2ii2+21i0,E(c)=0.式(3)得证.由式(5)(、6)(、9)及in=1Vii在L2中几乎处处收敛,有E[^m(c)-m]2=(c2)-2Ei=1Vii21c.式(4)得证.对固定的>0,n0>0,令~2n=max{^2n,n-},~Nc=inf{nn0+1:in=n0+1Xi-1c2~n0}.由于~iNc=-n10+1Xi-1c~2n0iNc=n0+1Xi-1,则存在一系数~c(0,1],使得~Nc-1i=n0+1Xi-1+c~X~Nc-1=c2~n0.(10)令~m(c)=[~iNc=-n10+1(Xi-Yi)+(~XNc-~YNc)]/(c~2).定理2对任意的c>0,>0,有P(~Nc0,(12)E[~m(c)-m]22n0c.(13)证式(11)易证.对式(12)(、13),由式(10)~m(c)-m===~Nc-1i=n0+1(Xi-Yi)+c~(X~Nc-~YNc)c~2n0-m~Nc-1i=n0+1(Xi-mXi-1-Yi)+c~(X~Nc-mX~Nc-1-~YNc)c~2n0i=n0+1(I{~Nc>i}+c~I{~Nc=i})(Xi-mXi-1-Yi)c2~n0=1ci=n0+1~iVi,(14)其中~iV=(I{~Nc>i}+c~I{~Nc=i})ui/~2n0.对任意的in0+1,易证{~Nc>i}和c~I{~Nc=i}关于Fi-1可测,于是~iV是Fi-1可测的,而且由式(10)和c~(0,1]有i=n0+1~V2i=i=n0+1(I{~Nc>i}+~2cI{~Nc=i})Xi-1~4n014n0~Nc-1i=n0+1Xi-1+c~X~Nc-1=c2n0.又由式(8),对任意的nn0+1,有n+1Ei=n0+1n~iVi|Fn=i=n0+1n~iVi+~Vn+1E(n+1|Fn)=i=n0+1~iVi.Eni=n0+1~iVi=ni=n0+1E[~iVE(i|Fi-1)]=0,Eni=n0+1~iVi2=2Eni=n0+1~V2i2Ei=n0+1~V2ic2E1~2n00,Ei=n0+1~iVi=

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