单摆周期公式的推导

作者:刘亚红 刊名:科技致富向导 上传者:汤敏

【摘要】通过求解在特定条件下和一般条件下,单摆周期公式的微分方程,使学生加深理解小球的运动规律,同时解答学生在实验过程中的疑惑。

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◇科技创新◇ 科技 _向导 2014年27期 单摆周期公式的推导 刘亚红 (延安大学西安创新学院 陕西 西安 71 01 00) 【摘 要1通过求解在特定条件下和一般条件下,单摆周期公式的微分方程,使学生加深理解小球的运动规律,同时解答学生在实验过程中 的疑惑。 【关键词】单摆 ;特征方程 ;椭圆积分 一 个 金属小球 系在 一根细 长的没有 弹性 的线 上.如图 1所示。如果,细线的质量比小球的质量小 很多.球的直径又比细线的长度小很多 ,则此装置 可看作是一根不计质量 的细线系住一个质点 ,这就 是单摆 略去空气的浮力和阻力以及线的伸长不 计.在摆角 0很小时( ÷0),小球的运动方程是: m%=-mgsinO (1) a.为切向加速度.又 sinO可以展开成级数: { 毒 sinO=sinO一 一+ 一 ⋯ ( 5。) j: J: 一0时。sinO 0,(1)式可变形为 圈l ma,=一m 【2) 又小球切向加速度 A可表示为: z警 其中,l为摆长,Ot为角加速度,则有: : 一 dt . d 一 + (3) 解 , 此 O 二 ~ 阶 0 齐 =-0 次线性微分方程,设立特征方程为: ^手=o 求得特征根为:r ::± i 所 以 .齐次微分 方程 的通解为 : 衄 、/手件 、/手 tm o: ,cJ: i c :、/ s 坤。 佩 ) = 厢 )] 令8 佩 则有 os + ) (4) 又 :2 、/手,日9. g= 兰 (5) 当 0>5。时.考虑到 0对周期的影响,重新解微分方程(3),即: 一 争sin0 (6) 用微分方程的幂级数解法,求解此方程。因为 t=O时,0=0o,故设 0~00+aIt+a~t +a +a t 7£+⋯ +⋯ ( 7) = +2 2 ..+ n~+.. ‘ (8) : 2n2+6 £+12 +⋯ +n(n-1)antn~+⋯ (9) 由(7)式,依次可求出 、 、⋯ 、 带入下式,即: 2n2+ 2 ..+n『n—J +..一手 争 0⋯‘J(1o) 因为 dO I :0 ,由(8)式可求出,a-=0。 I t=O ,f13(9)~ ,a= = 又 =手sin0,所以, 一手sin岛,即, 一寺sinOo。 0为 t的函数,对(1o)式,方程两边关于t的同次方幂对应项进行 比较 ,由 a。:0,依次可 以求出 a =0,a =O,⋯,a 1=O,o o~0即(7)表达式 中, t的所有奇数次方幂系数都为零。由此.我们想到了可以用椭圆积分求 警=一手 。 (11) 又警= dca· dO 等 (11)式可变形为:n,等一手s n口 两端积分: 1∞2=手c∞ c Y.t=0时,0= ,∞=0,所以,cl一手cosOo ‘l;:}{cos c砌 ∞ : dO = V—~-(cos—O-cosOo)=2∞。、/sin2争-siTl2争 式中, =、/手,分离变量,得: z、/s 争 争 /~ sin 0 2- n争 咖,则 = 争s 呻,即争cos~d = 争 等0o 0o 风得 0o c。s 啪 1 。寺 sin dp 枷 化 简 dt:—=— l_===一 (13) 、v/ 争 ⋯ 分 dt:f。 ㈣) 所以特 /v h d6 研 丽 dx ‘下转第 8页’ 327 2014年27期 科技 一向导 ◇科技创新◇ 充分发挥科技进步和创新的巨大作用 于 颖 (兰西县委党校 黑龙江 兰西 1 51 500) 科学技术作为“第一生产力”是和谐社会系统运行的核心动力 科 学技术促进生产力发展、促进人与 自然协调

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