与HA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式相关的两个函数

作者:时统业[1];韦晓萍[1];王斌[2] 刊名:河南教育学院学报:自然科学版 上传者:欧穗杰

【摘要】构造了一个积分形式的单调增加的凸函数,利用它得到HA-凸函数Hermite-Hadamard型不等式的加细,并由此生成两个具有单调性的二元函数.从而又获得了关于HA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的新的加细.

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第 25卷 第 2期 2016年 6月 河南教育学院学报(自然科学版) Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition) Vo1.25 No.2 Jun.2016 doi:10.3969/j.issn.1007—0834.2016.02.002 与 HA.凸函数的 Hermite-Hadamard 型不等式相关的两个函数 时统业 ,韦晓萍 ,王 斌2 (1.海军指挥学院 信息系,江苏 南京 211800;2.海军蚌埠士官学校 航海系,安徽 蚌埠 233012) 摘要:构造了一个积分形式的单调增加的凸函数,利用它得到 HA一凸函数 Hermite-Hadamard型不等式的加细,并 由此生成两个具有单调性的二元函数.从而又获得 了关于HA.凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的新的加细. 关键词:HA.凸函数 ;凸函数;准线性;单调性;Hermite—Hadamard型不等式 中图分类号:0178 文献标志码:A 文章编号:1007—0834(2016)02—0006—04 1 背景知识 在文献[1—3]中,王良成利用凸函数的单侧导数的性质证明与凸函数相关的函数的单调性和准线性. 受此启发,文献[4]利用 GA-凸函数单侧导数的性质研究了与 GA-凸函数相关的函数的单调性和准线性.文 献[5—6]引入 HA.凸函数的概念,文献[7]研究了HA一凸函数的单侧导数的存在性和单调性,本文仍然利用 单侧导数研究与 HA一凸函数有关的函数. 定义1 设,( )是定义在区间 , (0,+∞)上的正值函数,若对任意 ,, ∈,和任意 t∈[0,1], 厂( )满足 )≤if( l_ 几z)’ (1) 则称,( )为区间,上的 HA一凸函数.若不等式(1)中的不等式反向,则称 )为区间 ,上的 HA一凹函数. 为证明主要结论,需要下面关于 HA.凸函数单侧导数的性质,还要利用单侧导数判定函数单调性的依 据 ,以及 HA一凸函数的 Hermite.Hadamard型不等式. 引理 1 设 :[口,b] (0,+∞)一(0,+∞)为 HA一凸(凹)函数, ,Y∈(0,b),则 1)f在(o,b)内任意点处的单侧导数存在,且,在(o,b)上除至多只有可数个点外,处处可导; 2)当 <),时,有 ( )≤(≥) 2,+t( )≤(≥)y (y)≤(≥)y (,); 3)), (),(专一 1)≤(≥),( )一 y)≤(≥) ( )(专一 1),且对任意 ,y∈(n,6)等号恒成立当 且仅当 )= +d,c,d是常数. 引理 2 设,( )是[o,b]上的连续函数,若 ( )或 ( )对一切 ∈(n,6)有一个单侧导数存在,且 非负(允许 +∞),则 )单调递增. 在文献[9]的定理 6中取 ( );1, ( )= ,得到下面 HA-凸函数的Hermite—Hadamard型不等式. 引理3 设,:[n,b]c(0,∞)一(0,∞)是连续的 HA-凸函数,则 )≤ ≤ ( 一。) +(6_ ) ). 2 主要结果及其证明 定理 1 设I厂:[n,b]c(0,∞)一(0,∞)是连续的 HA 凸函数,则对任意 ,Y E[a,b], <y,定义关于 t的 收稿 日期 :2015—12—23 作者简介:时统业(1963一),男 ,河北张家口人 ,海军指挥学院信息系副教授 ,主要研究方向:基础数学 第2期 时统业

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