基于(α,m)-预不变凸函数的Ostrowski型不等式

作者:陈群 刊名:数学的实践与认识 上传者:梁秀章

【摘要】基于(α,m)-预不变凸函数的定义,利用Hlder不等式得到了一些新的(α,m)-预不变凸函数的Ostrowski型不等式,从而推广了已有文献中的结果.

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1引言1938年,Ostrowski证明了下面的积分不等式设函数/:[<!,&]R在[a,&]上连续,在(a,&)内可导,且其导函数满足supl/‘|=M,xG(a,6)则对任意的工[a,6],有Ostrowski型不等式:f(x)-fbf(u)du<M(ba)[+(^-=-=)2](1)baJa4ba近年来,人们给出了Ostrowski型不等式的各种改进和推广.在[2]中,作者考虑了二次可微函数的Ostrowski型不等式.此结果在[3]中被推广至高阶可微函数情形.最近,随着各.种类型凸函数概念的提出,不少作者讨论了有关凸函数的Ostrowski型不等式.例如,在[4]中,作者给出了第二类s-凸函数的Ostrowski型不等式.在[5-7]中,作者分别考虑了m-凸函数,(a,m)-凸函数和预不变凸函_的Ostrowski型不等式.下面我们首先给出不变凸集和预不变凸函数的定义.定义1【8_9】设非空集合ACR,若存在连续函数7?:义x必R,使得对任意的;r,yeA和fe[0,1],恒有a:+tV(y,x)為则称A为关于n的不变凸集.显然当rihy)=2/-工时,关于r?的不变凸集即为凸集.定义2l8-9]设4是关于7]的不变凸集,f:A^R为连续函数.若对任意的a:,yA和<e[0’i],恒有/(a;+tr](y,x))<(1-t)f{x)+tf{y)则称/为A上关于T)的预不变凸函数.显然当咖,y)=2/_a:B寸,关于7?的预不变凸函数即为凸函数.在文[7]中,Iscan证明了以下预不变凸函数的Ostrowski型不等式.引理1设力C[0,+oo)是关于ry:Ax火K的开不变凸集.对a,&e4有a<a+77(6,a)<oo,f:A^R为可微函数,且/'ei1[a,a+77(f),a)].若|/'|为A上的预不变凸 函数,则对任意的o:[a,a+t?(6,a)]有下列不等式成立1广a+??(6,a)f{x)-w^)Lf{u)du?){[K)2-K^)3+K^H3j_'++l{w)imj引理2设4C[0,+oo)是关于r?:Ax4R的开不变凸集,对a,&eA有a1为A上的预不变凸函数,则对任意的a:Ga,a+r,(b,a)}有下列不等式成立1尸a+77(&,a)f{u)du)(?”{(忘)[(…)2(=广、w+昼(耑)3|作)if+[臺v(甽+^^=1---一其它与Ostrowski型不等式相关的研究结果及其应用可参见文献[10-11].本文将在文[7]的基础上,根据(a,m)-预不变凸函数的定义以及H61der不等式,得到一些新的(a,m)-预不变凸函数的Ostrowski型不等式,从而推广了预不变凸函数的Ostrowski型不等式.?2主要结果首先我们给出(a,m)-预不变凸函数的定义:定义3丨12丨设欠是关于n的非空不变凸集,/:AR为连续函数,a,me(0,1],若对任意的u/ex和[0,1],恒有f(x+tT](y,x))<(1-ta)f(x)+mtafd)(4)则称f为A上关于rj的(a,m)-预不变凸函数.若a=m=1,(a,m)-预不变凸函数即为预不变凸函数.为了证明我们的结果,需要以下的引理.弓|理3【7]设災C1R是关于rj-.AxA^M.的开不变凸集,对a,&eZ有a<a+r?(b,a)<oo,/:4R为可微函数.若/'eL1[a,a+ry(6,a)],则对任意的x[a,a+r](b,a)],有1pa-^T]{b,a)f{u)du =r}{b,a)Itf(a-ht7}(b)a))dt+j(t-l)f(a--tr](b,a))

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