随机环境中受控两性分枝过程的概率性质

作者:胡杨利;潘振东;李德如 刊名:数学理论与应用 上传者:任子良

【摘要】本文介绍了一类配对依赖人口数的随机环境中受控两性分枝过程,研究了它的马氏性,对偶律及其概率母函数的性质.

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1引言作为经典分枝过程的自然推广,Daley在1968年提出了两性分枝过程模型,其模型考虑了自然界的生物大部分是依靠配对来繁衍后代的现象.但是,在自然环境中,影响生物繁衍后代的因素还有很多,例如环境、生物迁移、物种数量、食物链等等.于是马世霞在2006年引入了随机环境中的两性分枝过程,Molina在2007年提出了配对函数依赖于人口数的受控两性分枝过程.这两个过程都集中于讨论其灭绝概率.本文结合这两个模型提出了随机环境中配对函数依赖于人口数的受控两性分枝过程模型,并讨论过程的马氏性,对偶问题以及相应的概率母函数的性质.数学理论与应用设(,F,P)为概率空间,(,)是可测空间,Z+={0,1,2,…},={n:n0}为定义在(,F,P)上取值于(,)的一列随机变量,(Fn+1,Mn+1)和(fn,i,mn,i)为定义在(,F,P)上取值于Z+Z+的随机变量序列.设Lk:Z+Z+Z+,对固定的k0,Lk是非降的,且x,yZ+,L0(x,y)=Lk(x,0)=Lk(0,y)=0.设(k)是非负整数值随机变量,与{(fn,i,mn,i):n0,i1}及{n:n0}相互独立,且(0)=0,P((k)=j)=pj(k),k,j0,其中对固定的k,{pj(k):j0}是概率分布列.设,{pj():jZ+}也是概率分布列.定义1.1设{Z*n:n0}是取非负整数值的一列随机变量,满足(1)Z*0=N1,(Fn+1,Mn+1)=Z*ni=1(fn,i,mn,i),Zn+1=LZ*n(Fn+1,Mn+1),Z*n+1=(Zn+1),n0;(2)P(fn,i+mn,i=j|)=pj(n),i1,n0,jZ+;(3)P(fn,i=jn,i,mn,i=kn,i,0nl,1im|)=ln=0mi=1P(fn,i=jn,i,mn,i=kn,i|),jn,i,kn,iZ+,lZ+,mZ+;且给定环境,第n代的每一个配对单元生成的下一代个体是雌性的概率都是(n),其中N为常数,则称{Z*n:n0}是配对依赖人口数的随机环境中受控两性分枝过程.在定义1.1中,{Lk,k1}称为配对函数,{(k),kZ+}称为随机控制变量;(fn,i,mn,i)表示第n代的第i个配对单元产生的雌性后代和雄性后代的个数;(Fn+1,Mn+1)分别表示第n代的所有配对单元生成的雌性后代和雄性后代的总数,并由配对函数LZ*n产生第n+1代的Zn+1个配对单元;而Z*n+1=(Zn+1)表示经过随机控制变量()控制后的第n+1代的实际参与繁衍后代的配对单元数.定义1.2k1,称Lk(,)为上可加的,若Lk(x1+x2,y1+y2)Lk(x1,y1)+Lk(x2,y2),xi,yiZ+,i=1,2.为避免平凡性,全文假设对任意的,00r1+r2+…+ri=m+kil=1prl().证明由随机环境中马氏链的定义,P(Z*0=N)=P(Z*0=N0)显然成立,所以只须证:对任意的i,j,i1,i2,…,in-11,P(Z*n+1=jZ*0=N,Z*1=i1,…,Z*n-1=in-1,Z*n=i;)=k=0m=0s=0pj(s)P(Li(k,m)=s)Ckk+mk(n)(1-(n))mr1,r2,…,ri>0r1+r2+…+ri=m+kil=1prl(n)(1)事实上,由定义1.1,(1)式左边等于P(Z*n+1=j,Z*0=N,Z*1=i1,…,Z*n-1=in-1,Z*n=i)P(Z*0=N,Z*1=i1,…,Z*n-1=in-1,Z*n=i)=P((Li(il=1(fnl,mnl)))=j,Z*0=N,Z*1

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