关于凸函数的三个不等式及其应用

作者:萧振纲;张志华 刊名:郴州师范高等专科学校学报 上传者:周绪

【摘要】本文给出了有关凸函数的三个不等式及其若干应用

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1引言1729年,著名英国数学家.研究了一种初等对称平均:设=(1,2,…,是一个元正实数组,且1,则称()=112…=11(1)为数组的第个初等对称平均,其中求和遍历个满足112…的元整数组(1,2,…,).并证明了不等式()+1()(2)1982年,莫颂清给出了不定式(2)的一个初等证明[2],以后人们又陆续研究了一些新的对称平均及其加权形式,相应地得到了类似于(2)的不等式[3-9].因许多对称平均都包含了算术几何平均,而后者可以用凸函数来处理.受此启发,我们用不等式建立了关于凸函数的类似于(2)式的三个不等式.只要给出一个凸函数,即可以得到三个不同的加权对称平均不等式.众所周知,对于定义在区间上的函数(),如果对任意的(0,1)及,恒有()+(1-)()(+(1-)),则称()为上的一个凸函数.如果(3)中等式仅在=时成立,则称()为上的一个严格凸函数.而当()为上的严格凸函数时,对任意,+(=1,2,…,),有如下熟知的不等式=1()=1=1=1(3)等式成立当且仅当1=2=…=.2主要结果定理1设()为上的一个严格凸函数,,+(=1,2,…,),,令(;,)=12…+1(=1-=1)(-1=1),-1=1(1-1)=1=1-=1(-1)=1,(=)(4)则对=1,2,…,-1,有(;,)+1(;,)(5)等式成立当且仅当1=2=…=.证明由(;,)的定义,当时,1-2有+1-1=1+1(;,)=112…+1(=1-+1=1)[(+1)-1+1=1)]=112…+1(=1-+1=1){-1(+1)-1[(+1)+1=1-+1=1]}=112…+1(=1-+1=1)[(+1)-1+1=1-1(+1=1-)]1+1112…+1(=1-+1=1)[-1(+1=1-)]=1+1=1112…1,2,…,(=1-+1=1-)(-1+1=1),其中不等号的出现是根据不等式.记=112…1,2,…,(=1-+1=1-)(-1+1=1)=1,2,…,.显然,当112…时,(-1=1)在和式中1,2,…,都不出现,而在其余的和式(1,2,…,)中各出现一次,因而在=1中共出现-次,其系数为=11,2,…,(=1-+1=1-)=(--1)(=1-=1)于是=1=(--1)112…(=1-=1)(-1=1)=(+1)+1-1=1(;,)因此+1-1=1+1(;,)+1-1=1(;,)亦即不等式(5)成立.由不等式(3)中等式成立的条件亦自(5)中等式成立当且仅当1=2=…=.而当=-1时,直接利用不等式(3)即可得到(5),等式成立当且仅当1=2=…=.证毕.特别地,当1=2=…=时,我们有推论1设()为上的一个严格凸函数1(=1,2,…,),,令(;)=112…(-1=1)则对=1,2,…,-1,有(;)+1(;)(6)等式成立当且仅当1=2=…=.定理2设()为上的一个严格凸函数,,+(=1,2,…,),,令(;,)=1+2+…+=1,2,…,0=1(1+)(-1=1)+=1其中这里的求和遍历使1+2+…+=的+-1个不同的元非负整数组(1,2,…,),则有(;,)=+1(;,)(7)等式成立当且仅当1=2=…=.证明由(;,)的定义,对任意的,有+1+-1=1(;,)=++1+11+2+…+=1,2,…,0=1(1+)(-1=1)=++11+2+…+=1,2,…,0++1+1=1(1+)(-1=1)==1(1+)+11+2+…+=1,2,…,0=1(1+)+1+1=1(1+)(-1=1)==1+11+2+…+=+11,2,…,0=11++[=1(1+)-

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