关于调和凸函数的积分型Jensen不等式

作者:宋振云 刊名:湖北职业技术学院学报 上传者:莫恒全

【摘要】基于调和凸函数的调和凸性,研究了调和凸函数的Jensen型不等式的积分形式,通过定积分的定义计算,得到了调和凸函数的积分型Jensen不等式;利用调和凸函数的一个充要条件,建立了调和凸函数的积分型Jensen不等式的加权形式.

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0引言及结论关于调和凸函数,众所熟知的一个十分重要的性质如下[1]:设f(x)是定义在IR+上的正值调和凸函数,xiI和ti[0,1](i=1,2,…,n),若ni=1ti=1,则f1ni=1(tixi-1)1ni=1ti(f(xi))-1.(0.1)特别地,当t1=t2=…=tn=1n时,(0.1)式即为f11nni=1ixi-111nni=1i(f(xi))-1.(0.2)若f(x)为I上的正值调和凹函数,则不等式(0.1)、(0.2)中的不等号反向.通常称不等式(0.1)为调和凸函数的离散型Jensen不等式,简称为调和凸函数的Jensen型不等式,不等式(0.2)显然是不等式(0.1)的特殊情形,也称其为调和凸函数的Jensen型不等式.关于调和凸函数的研究,已取得一些成果(参见文献[1-3]).本文在先期研究的基础上,受文献[4-5]的启示,考虑对调和凸函数的离散型Jensen不等式的连续性推广,建立了调和凸函数的Jensen型不等式的积分形式,即调和凸函数的积分型Jensen不等式.主要结果如下:定理1(积分型Jensen不等式)设(t)是定义在[a,b]上的连续正值函数,f(x)是([a,b])上的可微调和凸函数,则fb-aba((x))-1dxb-aba(f((x)))-1dx(0.3)若f(x)是([a,b])上的可微调和凹函数,则不等式(0.3)中的不等号反向.定理2(积分型Jensen不等式的加权形式)设(t)和(t)是定义在[a,b]上的可积正值函数,f(x)是([a,b])上的可微调和凸函数,则fba(x)dxba(x)((x))-1dxba(x)dxba(x)(f((x)))-1dx(0.4)若f(x)是([a,b])上的可微调和凹函数,则不等式(0.4)中的不等号反向.1预备知识定义1.1设IR+,若x1,x2I,[0,1],有1x1-1+(1-)x2-1I,则称I为调和凸集.定义1.2[1-3]设IR+是调和凸集,f(x)是定义在I上的正值函数,若x1,x2I,[0,1],有f1x1-1+(1-)x-1()21(f(x1))-1+(1-)(f(x2))-1(1.1)则称f(x)为I上的调和凸函数;若不等式(1.1)中的不等号反向,则称f(x)为I上的调和凹函数.引理1[1-3]设f(x)是定义在IR+上的正值函数,且f(x)在I上二阶可导,(1)若对任意xI,有x((2f'(x))2-f(x)f(x))-2f(x)f'(x)0,则f(x)为I上的调和凸函数;(2)若对任意xI,有x((2f'(x))2-f(x)f(x))-2f(x)f'(x)0,则f(x)为I上的调和凹函数.引理2设IR+是调和凸集,f(x)是I上的可导正值函数,则f(x)在I上为调和凸(凹)函数的充要条件是:x0,xI,有1f(x)()f'(x0)x20(x-1-x0-1)(f(x0))2+1f(x0)(1.2)证明仅证f(x)是调和凸函数的情形,同样的方法可证明f(x)为调和凹函数的情形.若f(x)为I上的调和凸函数,x0,xI,设1u=1x0-1+(1-)x-1,=11+1(10且1R),则u=x0-1+(1-)x-1=11+1x-10+(1-11+1)x-1=x-1+1x0-11+1显然,u即为曲线f(x)上的两点P(x,f(x))与P0(x0,f(x0))的坐标的倒数为坐标的点P'(x-1,(f(x))-1)与P0'(x0-1,(f(x0))-1)的定比为1的分点的横坐标.当=0即1=0时,由定比分点的几何意义知,点P'与P'0重合,即点

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