关于GA-凸函数的Hadamard型不等式的一个注记

作者:时统业;吴涵 刊名:重庆理工大学学报(自然科学) 上传者:高伟

【摘要】从GA-凸函数的定义和性质出发,用数学分析方法得到了由已有的GA-凸函数的Hadamard型不等式的右端部分所决定的差函数的上界和下界;从而加细了GA-凸函数的Hadamard型不等式。

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1引理定义1[1]设f(x)是定义在区间I(0,+)上的连续函数,如果对于任意a,bI和t(0,1),有f(atb1-t)tf(a)+(1-t)f(b)(1)则称f(x)在区间I是GA-下凸的。如果式(1)的不等号反向,则称f(x)在区间I上是GA-上凸的。文献[2-4]给出关于GA-凸函数的Hadamard型不等式,见定理1。定理1[3-4]设f(x)是[a,b]上的GA-下凸函数,则f1e(bab)a(1)b-ab1-aabf(x)dx(lnb1-lna-b-aa)f(a)+(b-ba-lnb1-lna)f(b)(2)如果f(x)是[a,b]上的GA-上凸函数,则式(2)的不等式反向。当且仅当f(x)=c+dlnx时等号成立,c、d是常数。注1由定理1的证明过程易知lnb1-lna-b-aa=balnb-lnx(b-a)(lnb-lna)dxbb-a-lnb1-lna=balnx-lna(b-a)(lnb-lna)dx引理1[1]设f(x)是定义在[a,b](0,)上的函数,则f(x)是[a,b]上的GA-下凸函数的充要条件为f(ex)为[lna,lnb]上的下凸函数。引理2[5]设f(x)是[a,b]上的下凸函数,则对任意x,y[a,b],有f'+(x)(y-x)f(y)-f(x)f'-(y)(y-x)当且仅当f(x)=c+dx时等号成立,c、d是常数。引理3设f(x)是定义在[a,b](0,)上的GA-下凸函数,则1)xf'-(x)和xf'+(x)在(a,b)单调不减。2)对任意x,y[a,b],有xf'+(x)lnxyf(y)-f(x)yf'-(y)lnxy当且仅当f(x)=c+dlnx时等号成立,c、d是常数。证明令h(x)=f(ex),那么h'+(x)=exf'+(ex),h'-(x)=exf'-(ex)因为f(x)是[a,b](0,)上的GA-下凸函数,由引理1知,h(x)是[lna,lnb]上的下凸函数。根据下凸函数的性质知h'-(x)与h'+(x)在(a,b)单调不减,也即xf'-(x)和xf'+(x)在(a,b)单调不减。又由引理2知,对任意u,v[lna,lnb],有h'+(v)(u-v)h(u)-h(v)h'-(u)(u-v)(3)在式(3)中取u=lny,v=lnx,则引理3结论2)得证。引理4设f(x)是定义在[a,b](0,+)上的连续的GA-下凸函数,则有1)f(x)llnnbb--llnnaxf(a)+llnnxb--llnnaaf(b)(4)当且仅当f(x)=c+dlnx时等号成立,c、d是常数。2)baf(x)dxf(a)abllnnbb--llnnaxdx+f(b)abllnnxb--llnnaadx(5)当且仅当f(x)=c+dlnx时等号成立,c、d是常数。证明对任意x[a,b],有时统业,等:关于GA-凸函数的Hadamard型不等式的一个注记x=alnb-lnxlnb-lnablnx-lnalnb-lna由GA-下凸函数的定义得式(4)。式(4)在[a,b]上取积分得式(5)。设f(x)是定义在(a,b)上的可导的下凸函数,对于任意x1,x2[a,b],x1<x2,文献[6]证明了下面结果:12s[u0p,1]J(f,x1,x2,)f(x1)+2f(x2)-x21-x1x2f(x)dxsu[0p,1]J(f,x1,x2,)x1其中x=x1+(1-)x2J(f,x1,x2,)=f(x1)+(1-)f(x2)-f(x)本研究将仿照文献[6]的方法,将上述结果移植到GA-下凸函数。设0<x1<x2,(0

参考文献

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