随机环境中伴有移民两性分枝过程的极限性质

作者:宋明珠 刊名:应用数学 上传者:韦月利

【摘要】本文在独立同分布的随机环境下,建立带有移民的两性分枝过程{Zn}n≥0,且移民人口数依赖当前人口数,证得{Zn}n≥0和{(Fn,Mn)}n≥1是随机环境中的马氏链,并得到第n代每个配对单元平均增长率{rk}k≥0的极限性质,从而推广了经典两性分枝过程的相关理论.

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1.引言为了更精确地描述某种生物的人口模型,Daley在1968年首次引入了两性分枝过程的模型,得到众多概率论学者的广泛关注和深入地研究[1-2].由于自然界生物繁衍过程受到自然环境、社会环境等诸多因素的影响,作为两性分枝过程和随机环境中分枝过程的自然推广,马世霞引入了随机环境中的两性分枝过程,得到了一系列有价值的结果[3-4].本文在前人研究的基础上,给出了随机环境中伴有移民两性分枝过程的模型,且移民人口数受到当前人口数的影响,证明了这类两性分枝过程是随机环境中的马氏链,以及第n代每个配对单元平均增长率的极限性质,从而推广了经典两性分枝过程的相关理论.设(,F,P)是一概率空间,(,B)为任意可测空间,N+表示非负整数集,设X珤=Xnn=0,1,2,…是(,F,P)上取值于N+的随机序列,P(;,);是N2+上的一族转移函数,且假定对任意的AA,P(;,A)关于BA可测的.对任一序列珗=n,记rk=n,knr.配对函数L(,)是定义在N2+上取值于N+的二元函数,对每个分量都是非减的且L(x,y)xy.0=n0,1,2,…和(Fn,Mn)n1是(,F,P)上分别取值于(,B)和N2+的随机序列,(fn,i,mn,i)i1是给定环境n的条件下取值于N2+的独立同分布二维随机变量序列,In(k)n0是独立于(fn,i,mn,i)i1取值于N+随机变量序列.定义1.1若Znn0满足Zn=N,(Fn+1,Mn+1)=Zni=1(fn,i,mn,i),Zn+1=L(Fn+1,Mn+1)+I(L(Fn+1,Mn+1))n+1烅烄烆,则称Znn0为随机环境中伴有移民的两性分枝过程,其中fn,i和mn,i分别表示第n代的第i个配对单元在环境n下生成的雌性和雄性个体数;Fn+1和Mn+1分别表示第n代所有配对生成的雌性和雄性总数;In(+L(1Fn+1,Mn+1))表示第n+1代移入的配对数且移入的配对数受当前人口数的影响,配对函数L(,)和移入的配对数形成了第n+1代的Zn+1个配对.定义1.2如果对任意的x,nN+,有P(X0=x珒)=P(X0=x0),P(Xn+1=xX0n,珒)=P(n;Xn,x),则称X珤是随机环境珒中的马氏链.记Fn(n)=(Z0,Z1,…,Zn,n),n=0,1,2,…,假定对任意的x,yN+,L(x,y)与Fn(n)独立,约定文中涉及的随机变量的数学期望均存在.2.马氏性引理2.1对任意的A,BF,珒(,B),若P(B珒)>0,则P(AB,珒)=P(AB珒)P(B珒).定理2.1Znn0是随机环境中的马氏链,其一步转移概率为P(n;i,j)=PLik=1(fn,k,mn,k())+IL(ik=1(fn,k,mn,k))n+1(=j).证由Znn0的定义可知P(Z0=N珒)=P(Z0=N0).由引理1和Znn0的定义以及L(x,y)与Fn(n)是相互独立可得,对任意的i1,i2,…,in-1,iN+有P(Zn+1=jZ1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=in-1,Zn=i,珒)=P(Zn+1=j,Z1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=in-1,Zn=i珒)P(Z1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=in-1,Zn=i珒)=P(L(ik=1(fn,k,mn,k)))P(Z1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=in-1,Zn=i珒)+IL(ik=1(fn,k,mn,k))n+1=j,Z1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=in-1,Zn=i珒)P(Z1=i1,Z2=i2,…,Zn-1=in-1,Zn=i珒)=PLik=1(fn,k,mn,k(

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