随机环境中分枝过程的暂留性与灭绝概率的性质

作者:胡杨利;杨向群 刊名:应用概率统计 上传者:张子言

【摘要】从随机环境中分枝过程是随机环境中马氏链入手,讨论了随机环境中分枝过程状态的暂留性、常返性以及灭绝概率的性质.

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应用概率统计 第二十八卷第一期 2012年2月 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.28 No.1 Feb. 2012 随机环境中分枝过程的暂留性与灭绝概率的性质 ∗ 胡杨利1,2 杨向群1 (1湖南师范大学数学与计算机科学学院, 长沙, 410081; 2长沙理工大学数学与计算科学学院, 长沙, 410004) 摘 要 从随机环境中分枝过程是随机环境中马氏链入手, 讨论了随机环境中分枝过程状态的暂留性、常返性以及灭绝概率的性质. 关键词: 随机环境中分枝过程, 暂留性, 常返性, 灭绝概率. 学科分类号: O211.62, O211.65. §1. 引言与模型 随机环境中分枝过程(BPRE)的研究始于二十世纪六十年代([1–4]), 是当前国际上随机环境中随机过程研究中成果最丰富的方向之一, 已取得一系列十分深刻的结果, 但这些结果中未见关于BPRE暂留性、常返性的讨论. 李应求将π-不可约、常返、暂留的概念引入了随机环境中马氏链的研究中, 并讨论了各种暂留性、常返性之间的关系([5–9]). 本文首先证明了BPRE是随机环境中马氏链, 然后借鉴李应求处理随机环境中马氏链的方法, 讨论了BPRE的暂留性和常返性, 并得出在一定条件下过程必然趋于0或∞. 关于BPRE的灭绝概率已有很深入的研究, 详见文献[1–4]及其参考文献, 但基本上是讨论BPRE灭绝的条件. 本文借助于BPRE的马氏性, 从转移概率入手, 讨论了灭绝概率与转移概率之间的关系. 在GW分枝过程的研究中, 比例定理是一个重要结论([11]), 本文得到了BPRE一个类似的结论(定理4.2). 设Z+={0,1,2,...}, N ={1,2,...}, (Ω,F,P)为一概率空间, (Θ,B)为环境空间, (X,A) 为状态空间, 其中X = Z+, 而A是X离散σ域. 对于∀θ ∈ Θ, {pn(θ) : n ∈ Z+}为概率分布列, 且满足 ∞P j=0 jpj(θ) < +∞, 0 ≤ p0(θ) + p1(θ) < 1. (1.1) 令T是ΘZ+到ΘZ+上的推移算子, 即对于∀k ∈ N, ~ θ = (θ0,θ1,...) ∈ ΘZ+, 有Tk~ θ = (θk, θk+1,...). 对任意的序列~η = {ηn,n ∈ Z+}, 记~ηr k = {ηn,k ≤ n ≤ r}, 0 ≤ k ≤ r ≤ ∞. ∗国家自然科学基金(10771021; 10471012; 10871064; 11171101)、高校博士点基金(20104306110001)、教育部留学回国人员科研启动基金([2005]564)、湖南省自然科学基金(08JJ3007)和湖南省教育厅科研基金(07A003; 08C120; 09K026) 资助项目. 本文2009年2月3日收到. 22 应用概率统计 第二十八卷 定义 1.1[10] 设~ ξ = {ξn,n ∈ Z+}是(Ω,F,P)上取值于(Θ,B)的随机变量序列, ~ Z = {Zn,n ∈ Z+}和{Xni,n ∈ Z+,i ∈ N}是(Ω,F,P)上取值于(X,A)的随机变量序列, 且满足 Zn+1 = ZnP i=1 Xni, P(Xni = j|~ ξ) = pj(ξn), j ∈ X, (1.2) P(Xni = jni,1 ≤ i ≤ m,0 ≤ n ≤ k|~ ξ) = kQ n=0 mQ i=1 P(Xni = jni|~ ξ), jni

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