2015年高考数学压轴题分类解析——导数

作者:吴普林 刊名:《招生考试通讯:高考版》 上传者:李青燕

【摘要】数学压轴题是高考中区分度较高的试题。具有一定的难度。不过。随着高考的不断改革.压轴题的难度也逐年下降,不再显得那么“难不可解”,只要考生对其有充分的研究,掌握命题思路。熟练解题技巧,就一定能从压轴题上拿到理想的分数。本期特邀长春吉大附中实验学校数学教师吴普林,精选具有代表性、创新性、前瞻性的2015年全国各省市高考数学试卷中的压轴题,并对其进行分析、讲解,为考生备考复习提供强有力的第一手资料。

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11.变量或参数放缩.有时用到均值不等式。有时会利用第一 问的结果进 行放缩 ,也 可 能将 参数放 缩为 常数 ,还可 能找到一个 中间函数 ,这个函数经常是切线, 1 2.数形结合 .是打开解题思路的有效手段 . 导数 是刻 画 函数 的单调性 、极值 的一种手 段 。求导 过程 中遇 到不确定因素时,就要进行分类讨论,函数复杂时,应进行转化或 分 离 .明 白了导 数在研 究 函数 问题 中所起 的作用 ,有助 于 同学们 掌握此类问题的解答策略. 下 面我们 以一道 高考题 为例 ,从 一题 多解 的角 度 。去感 受导 数综 合 问题 的思维 过程及 多种解 法 ,感·晤常用策 略和技巧 ,希 望 对考生 突破导数 的学习有所 帮助 . 例 1.已知 函数 ,( )= 一 + +2,曲线 ,,=,( )在点((1,2) 处的切线与 轴 交点 的横 坐标 勾 一 . (I)求 rl: (n)证明 :当 <1时,曲线 v=,( )与直线 v=h ~2只有一个 交点 解析 :(I)/ 【 )=3x —n +n,, (())=“. 曲线 I:,h )在点 ((J,2)处的切线方程为 一 ∽ +2. 由题 设得 一2“+2=0,所 以n=1. (II)在讨 论到情 况 (2)时 .高考参考答案使用 了放缩的技巧 , 将参 数放缩为常数 ,起到 了“出奇 制胜”的效 果 ,具体 见解法一 ,如 下 : 解法一 :变量放缩 ,出奇 制胜 由第一 问知 ,厂( )= 一3x!+ +2.设 ( )=/。( )一h +2= 一 3 ’+(1一 ) +4,由题设 矢口1一 >(). (1]当 <I)时 ,g ( )=3x 一6 +1一 >(),g( )单调 递 增 , (一1)=^一1<{),g(¨)=4,所以g( )=()在(一。。 ()】上有唯~实 根 (2j当x>O日寸,令 h( 】= 。一3x +4,贝1g( ):h( )+(1~ ) x>h j h ( )=3 ’一 =3x( 一一2),h( )在 (0,2)上 单调 递 减 ,在 (2,+ )上单调 递增 ,所 以 g( ( )≥^(2)=0,所 以 ( )=0存 (0.十 )上没有 实根 综 上 ,g(X)=0在 (一。。,+。。)上 有唯 一 实根 ,即 曲线 ,= /( )与直 线 v=h 一2只有 一个 交点 ,问 题 得 讧 . 点评 :解题 过程 中,当讨 论到 >0的情 况时 ,用到 了“参数 放 缩”的技巧 方法固然巧妙,考生确不易想到,解法显得很不自然. 那么 不放缩 可不可 以呢7 函数 ,( )= 。一3 + +2可 以用导 数 得到明确的单调性和极值的情况 ,而y=h一2的图象是~条过定 点 f() 一2)的直线,那为什么不从函数 f(x)的图象人手研究问题 昵7想法萎然看起来很简单 ,但是入手一做,却遇到了计算上的 大麻 烦 最终 突破 了计 算的难关 ,具体 见解法二. 解沃二 自然过 渡 ,淡化技巧 /(、)=^。一3 + +2,贝1.1,【 J=3x!一6 +1,令 /( )=0.得 = -+萼, o 招蟠粕讯收 。 当 变化时 ,_厂 ( ),_厂(曲的变化如下表 一 (一 ,1_ ) 1一 (1一 ,l十 ) -+ (1+ , }m) j j f + O 0 + ) / 点 评 :要 想;佳确说 明 曲线 、=/( 与直线 =h 一2的付 置 关 系,则需求出极大值 l/f】~,J 6)和极小值 /(j+ } 而这成 为这 解 法的一 个致命难 点 ,因为面 临

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