基于(α,m)-预不变凸函数的Ostrowski型不等式

作者:陈群 刊名:《数学的实践与认识》 上传者:李艳秋

【摘要】基于(α,m)-预不变凸函数的定义,利用Hoder不等式得到了一些新的(α,m)-预不变凸函数的Ostrowski型不等式,从而推广了已有文献中的结果.

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第 44卷第 16期 2014年 8月 数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY V01.44.NO.16 Aug.,2014 基于 (OL,m)一预不变凸函数的 Ostrowski型不等式 陈 群 (南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京 210044) 摘 要:基于 (OL,m)一预不变凸函数的定义,利用 HSlder不等式得到了一些新的 ( ,m)一预不变凸函数的Ostrowski型不等式,从而推广了已有文献中的结果. 关键词: Ostrowski型不等式;不变凸集;(OL,m)一预不变凸函数;H61der不等式 1 引言 1938年,Ostrowski证明了下面的积分不等式 _1J. 设函数f:【a,b]一 在 [a,b]上连续,在(a,b)内可导,且其导函数满足 sup I, ( )I=M, xE(0,6) 则对任意的X∈[a,6],有 Ostrowski型不等式: 1 rb 1 一 地 1m)一 f(u)dul M(b—n) ( 寺) ] (1) 近年来,人们给出了 Ostrowski型不等式的各种改进和推广.在 [2]中,作者考虑了二次 可微函数的 Ostrowski型不等式.此结果在 【3]中被推广至高阶可微函数情形.最近,随着各 种类型凸函数概念的提出,不少作者讨论了有关凸函数的Ostrowski型不等式.例如,在 [4] 中,作者给出了第二类 8一凸函数的Ostrowski型不等式.在 【5—7】中,作者分别考虑了m一凸 函数,( ,m)一凸函数和预不变凸函数的 Ostrowski型不等式.下面我们首先给出不变凸集和 预不变凸函数的定义. 定义 l[S-9] 设非空集合 A c ,若存在连续函数 叩:A×A— ,使得对任意的X,Y∈A 和t∈【0,1],恒有X+ ( ,X)∈A,则称 为关于叩的不变凸集. 显然当 叩( ,Y)=Y— 时,关于 叩的不变凸集即为凸集. 定义 2【 -9] 设 是关于叼的不变凸集,f:A一 为连续函数.若对任意的 X,Y∈A 和 t∈f0,l1,恒有 f(x+t叼( , )) (1一t)f(x)+tf(y) 则称 f(x)为 上关于 卵的预不变凸函数. 显然当叩( ,Y)=Y—z时,关于 叩的预不变凸函数即为凸函数. 在文 『71中,Iscan证明了以下预不变凸函数的Ostrowski型不等式. 引理 1 设 A c f0,+。。)是关于 叩:A×A一 的开不变凸集,对 a,b∈A有 a< a+叩(6,a)<o。,f:A一 为可微函数,且f ∈ [a,a+叩(6,口)].若 f, f为 上的预不变凸 收稿日期:2013—10—30 资助项目:国家自然科学基金 (11201238);南京信息工程大学教学建设与改革提升工程项目(教学改革研究 课题 2012) 数 学 的 实 践 与 认 识 函数,则对任意的 ∈[a,a+叩(6,o)]有下列不等式成立 I 丽1 J )。一 ( )。 ( ) +詈()。] a+叩(6,a) 引理 2 设 A c【0,+。。)是关于 叩:A×A一 的开不变凸 a+叩(6,a)<。。,f:A— 为可微函数,且f ∈L [a,a+叩(6,0)].若 不变凸函数,则对任意的X∈【a,a+叩(6,n)】有下列不等式成立 I ,一丽1 l 44卷 (2) 集,对 a,b∈A有 a< I.厂,Iq,q>1为 上的预 ( ( );

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