坐标系与参数方程考点探秘(无全文)

作者:曹国庆 刊名:高中数理化 上传者:

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【摘要】从近几年的高考试题来看;极坐标与参数方程始终以选考题的形式出现;主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化;直线、圆及椭圆的参数方程与普通方程的互化等内容.1参数方程、极坐标方程与普通方程的互化极坐标与直角坐标的相互转化中;将直角坐标方程转化为极坐标方程比较容易;只需将公式x=ρcosθ;y=ρsinθ直接代入并化简即可.将极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些;求解此类问题;常用方法有代入法、平方法等;还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧.

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􀅰高考全关注􀅰 ◇ 河北 曹国庆(特级教师)   从近几年的高考试题来看,极坐标与参数方程始 终以选考题的形式出现,主要考查极坐标方程和直角 坐标方程的互化,直线、圆及椭圆的参数方程与普通 方程的互化等内容. 1 参数方程、极坐标方程与普通方程的互化 极坐标与直角坐标的相互转化中,将直角坐标方 程转化为极坐标方程比较容易,只需将公式 x= ρcosθ,y=ρsinθ直接代入并化简即可.将极坐标方 程化为直角坐标方程则相对困难一些,求解此类问 题,常用方法有代入法、平方法等,还经常会用到同乘 (或除以)ρ等技巧. 例1 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的 原点O 处,极轴与x 轴的非负半轴重合,且长度单位 相同.直线l的极坐标方程为 2ρsin(θ- π 4 )=10,曲 线C: x=2cosα, y=2+2sinα{ (α 为参数),其中α∈[0,2π).试 写出直线l的直角坐标方程及曲线C 的普通方程. 因为 2ρsin(θ- π 4 )=10,整理得ρsinθ- ρcosθ=10,则y-x=10,故直线l的直角坐标方程 为x-y+10=0. 对于曲线C: x=2cosα, y=2+2sinα{ (α 为参数),消去参 数可得曲线C 的普通方程为x2+(y-2)2=4. 将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要 把方程中的参数消去,还要注意x 和y 的取 值范围,同时在消去参数的过程中一定要注意普通方 程与参数方程的等价性.常见的消参法有代入消元 (抛物线的参数方程)、加减消元(适用于直线的参数 方程)、平方后再加减消元(适用于圆与椭圆的参数方 程)等.而对于含三角函数的参数方程,经常使用的公 式有sin2α+cos2α=1等.将曲线的参数方程化为普通 方程的过程中,一定要注意参数的范围,确保普通方 程与参数方程的等价性,否则很容易因为忽略参数方 程中的某些限制条件而出现错误. 例2 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ,以 极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系, 则曲线C 的参数方程为 . 由ρ=2cosθ,知ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2= 2x,即(x-1)2+y2=1,令x-1=cosθ,y =sinθ,则曲线C 的参数方程为 x=1+cosθ, y=sinθ{ (θ为 参数). 极坐标方程与参数方程之间不能直接互化, 必须以普通方程为桥梁,即将极坐标方程转 化为普通方程再转化为参数方程,或将参数方程转化 为普通方程再转化为极坐标方程,转化时要注意普通 方程与参数方程的等价性. 2 参数方程的应用 将参数方程化为普通方程就是“消去参数”,可根 据三角公式消参,也可利用代入法消参.对于直线来 说,经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方 程为 x=x0+tcosα, y=y0+tsinα{ (t为参数).若A,B 为直线l上 两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为t0,则有以下几个常用的 结论. ①t0= t1+t2 2 ; ②|PM|=|t0|=( t1+t2 2 ); ③|AB|=|t2-t1|= (t2+t1)2-4t1t2 ; ④|PA|􀅰|PB|=|t1t2|. 例3 (2016年全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,曲线C1 的参数方程为 x= 3cosα, y=sinα{ (α 为参数). 以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,则曲线C2 的极坐标方程为ρsin(θ+ π 4 )=22. (1)写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程

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