对2019年高考数学全国Ⅱ卷理科21题的探究

作者:刘鑫钧;周宗杰 刊名:中学数学研究 上传者:左爱辉

【摘要】一、考题再现题目已知点A(-2;0);B(2;0);动点M(x;y)满足直线AM与BM的斜率之积为-12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P;Q两点;点P在第一象限;PE⊥x轴;垂足为E;连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

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• 26 • 中学数学研究 2020年第3期 评析:从椭圆性质出发观察图形,可知在 △MF』2中,OM为其中线,因此可以依据中线定理 求得MO的长度.然后,将点M视为以。为圆心且 MO为半径的圆与椭圆的交点,因此可以联立方程 即可求解. 2.8 等面积法+极化恒等式法 解析:如图4,过点眄作 FE垂直于MF?于E,过点过 M做MD垂直于F/2,又 I F.F2 I =1 F.M I ,故 £ 为 MF2的中点.由极化恒等式及 向量内积得丽•阳可= I FrE\2 -I EF2\2 =1 F^E\2 -4 =1 F\M I I F\F: I cosZMFjFj = 56,解得 I F1E\ =2/15.设点M纵坐标为九(九>0),而 根据等面积法求得三角形MF』2的面积为Saw = j-l MF2 II FtE I = j-l FtF2l xMD = j-x8 =4 帀,得九=■,即点M横坐标为尬=3,故 ■ 的坐标为(3, /15). 评析:从结论入手,欲求点M的坐标,可先求其 纵坐标,即求MD.利用极化恒等式可以求得F[D,可 以联想到三角形等面积法,通过不同的底边和高以 面积为中介量,从而推算出MD. 3.回顾反思 3. 1 一题多解的“套路” 一题多解的根本原因是从不同的侧面去观察题 目,从不同的维度去思考和使用条件⑵•总结上述 的八种解法,可得知一题多解的常见思考方向:(1) 从未知量出发,反向逆推,对条件进行不同的转换和 运用,例如解法1 -3;(2)从题干主要条件出发,联 想相关知识点,顺势推出结果,例如解法4 -6;(3) 从图形特征出发,观察点、角、线、图形,根据特殊性 构造思路,例如解法7;(4)运用不同的思想方法进 行整体思考,例如解法& 3.2 一题多解的“技巧” 思维并不是单向的,常常运用多个角度同时思 考得出结果•例如,解法1同时运用了三个方向,从 结果出发,根据题干椭圆定义、等腰性质,并观察图 形得知公共角,从而运用余弦定理求解.因此多种不 同的解法可以发散学生的思维,培养思维能力. 3.3 一题多解的“功效” 各种解法各有特色:解法1 -2较为符合学生的 原有解题思维,易于接受;解法3复习了等腰三角形 的性质;解法4训练学生从图形之间的关系思考问 题;解法5运用参数法,复习两点距离公式,计算简 便;解法6复习椭圆离心率的计算公式;解法7复习 中线长公式,在联立方程;解法8培养学生的等面积 法,而且拓展了“极化恒等式”,解法独树一帜.一题 多解可以运用不同的解法激发学生的兴趣,同时还 串联各个板块的知识点,回顾常见的思想方法. 一题多解可以用一道经典题,帮助学生复习多 个知识(鱼),讲授不一样的思想方法(渔),激发学 生的学习情感(欲),达到“鱼渔欲”的三位一体教 学功能⑶,进而提高学生学习效率. 参考文献 [1] 鲁和平.对高中数学“一题多解”教学的辩证思考[J].中 学教研(数学),2019(05):29 -31. [2] 宁磊.对一道高考题的深入研究[J].中学数学教学参 考,2018(27):50 -51. [3] 黄红梅,唐剑岚.探求“鱼渔欲”三位一体的数学教学 [J].教学与管理,2015(10):39 -41. 对2019年高考数学全国n卷理科21题的探究 江苏省灌南高级中学 (222500)刘鑫钧 安徽省淮北市第一中学(235000)周宗杰 —、考题再现 题目 已知点A(_2,0),B(2,0),动点、M(x, y

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