分数阶薛定谔方程的平均向量场方法

作者:孔嘉萌;孙建强;刘莹 刊名:西北师范大学学报:自然科学版 上传者:郑康

【摘要】基于二阶平均向量场方法和傅里叶谱方法构造了分数阶薛定谔方程的哈密尔顿保结构格式;并利用新格式数值模拟方程的演化行为.结果表明分数阶薛定谔方程的新格式具有二阶精度;且可以精确地保持方程的能量和质量守恒特性.

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分数阶量子力学是量子力学的一种自然延伸,自从Laskin[1]将费曼路径积分中的布朗轨迹替换为莱维轨迹以来,分数阶量子力学一直吸引着人们的关注.分数阶薛定谔方程是经典薛定谔方程的一种推广,其中含有莱维指数为1<α≤2的拉普拉斯算子.分数阶薛定谔方程也出现在一系列生物聚合物(如DNA)电荷转移离散模型的连续极限中[2],在α=2的特殊情况下,方程可以简化为经典薛定谔方程,该方程描述了许多物理现象,并得到了广泛的研究[3].由于分数阶薛定谔方程的解析解一般无法导出,因此需要研究高效可靠的数值方法来求解,目前,已经出现了许多数值方法,如配置方法[4-5]、有限元法[6]和有限差分法[7].非线性分数阶薛定谔方程的一般形式为 初始条件为u(x,0)=u0(x),x∈Ω.其中是一个复值波函数,参数β是一个实常数且u0(x)是一个给定的光滑函数.方程(1)具有如下能量和质量守恒特性: 能量守恒: 质量守恒: 其中u=p+iq. 构造能量守恒格式在能量守恒偏微分方程数值求解中具有重要作用.早在20世纪80年代,Feng等[8]、Sun等[9]就提出了哈密顿系统的辛几何算法,它能够准确地模拟系统在较长时间内的演化过程,近似地保持系统的能量守恒.近几年,Celledoni等[10]、Mclachlan等[11]等利用平均向量场方法构造了哈密尔顿系统的保能量格式;Brugnano等[12-13]提出了能量守恒的哈密顿边值法,并应用于KdV方程的求解;李胜平等[14]通过构造多辛Preissmann格式求解KdV方程;Wang等[15]利用辛龙格库塔方法和傅里叶谱方法构造了非线性薛定谔方程的哈密尔顿系统和多辛系统的保结构格式,然而,这两种格式对于系统能量和质量的保持还不够精确.文中利用二阶平均向量场方法结合傅里叶谱方法构造非线性分数阶薛定谔方程的哈密尔顿系统的保结构格式. 文中首先介绍分数阶拉普拉斯算子并推导傅里叶谱方法对分数阶拉普拉斯算子的离散近似,再利用二阶平均向量场方法结合傅里叶谱方法构造分数阶薛定谔方程的哈密尔顿保结构系统,然后用构造的新格式在不同初值条件和莱维指数情况下进行数值模拟,验证格式的保能量和质量守恒性. 1 傅里叶谱方法对分数阶拉普拉斯算子的离散 分数阶拉普拉斯算子是由傅里叶空间中的符号定义的伪微分算子.在区间Ω=R上,可以利用傅里叶变换将其定义为 其中傅里叶变换为 在具有周期边界条件的有界区间Ω=(a,b)上,可以利用傅里叶级数将其定义为 其中,傅里叶系数为 非线性分数阶薛定谔方程在周期边值问题上具有适定性.由于实际计算总是在有限区间内进行的,因此只考虑周期边值问题. 利用傅里叶谱方法对分数阶拉普拉斯算子进行离散[16].假设区间Ω=[a,b]被分成N个相等的子区间,N为正偶数,网格大小h=(b-a)/N,令xj=a+jh,0≤j≤N-1为[a,b)中的网格点.令INp(x)表示由函数p(x)得到的pN(x)的插值逼近,则 其中 这里μ=2π/(b-a),当时ck=1,当时ck=2. 根据等式(5)和(6)可得 令pj=p(xj),将(7)式带入(8)式即可得到p(x)进行分数阶拉普拉斯运算后的近似值: 其中D是具有元素 的N×N矩阵,p=(p0,…,pN-1)T. 下面利用二阶平均向量场方法和傅里叶谱方法求解方程(1). 2 非线性分数阶薛定谔方程的保能量格式 令u(x,t)=p(x,t)+iq(x,t),则方程(1)等价于 方程(9)和(10)可以写成哈密尔顿结构 其中z=(p,q)T∈R2, 而 矩阵

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