2019年高考全国Ⅱ卷理科第21题的多角度探索

作者:侯雪花 刊名:数学通讯 上传者:魏长安

【摘要】在数学问题中有这样的量;它在每一个指定情形下是不变的;但在不同的问题解决过程中(或具体情形下)它又可以取不同的值;这样的量称为参变量;简称为参数.而在问题解决过程中;有时会遇到一些不能直接求解或直接求解较为困难的变数问题;往往需要使用参数方能解决;这种应用参数解题的方法称为参数方法;简称参数法.参数方法在解析几何中有着广泛的应用;可以解决求值问题、证明问题、定值定点问题、变量的范围及最值问题等.本文以一道2019年高考题为例说明如何更好地应用参数法解决解析几何问题.

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•解题方法• 数学通讯一 2 0 2 0年 第 2 期(上半月) 19 2019年高考全国I 卷理科第21题的多角度探索 侯 雪 花 (福建省福州市第十六中学,350007) 在数学问题中有这样的量,它在每一个指定情 形下是不变的,但在不同的问题解决过程中(或具体 情形下)它又可以取不同的值,这样的量称为参变 量 ,简称为参数.而在问题解决过程中,有时会遇到 一些不能直接求解或直接求解较为困难的变数问 题.往往需要使用参数方能解决.这种应用参数解题 的方法称为参数方法,简称参数法.参数方法在解析 几何中有着广泛的应用,可以解决求值问题、证明问 题 、定值定点问题、变量的范围及最值问题等.本文 以一道 2019年高考题为例说明如何更好地应用参 数法解决解析几何问题. 一 、使用参数法时应特别注意的四个方面 1. 使用参数法的关键所在是恰当、合理地选取 或引入参数. 选取或引人参数最基本的原则是要选择那些可 以充分沟通问题中各量之间内在联系的量.经常使 用的参数有点参数(即点的坐标作参数)、斜率参数 (前提是直线有斜率)、线参数(直线有斜率时可引人 直线的方程 :y == 同时作参数)、角参数 (一些关键的角如三角形内角,旋转角.椭圆、双曲线 的离心角)、截距参数、长度参数、比值参数等等,参 数只有选取得恰当而合理,问题解决才能顺利,过程 才能简洁. 2. 使用参数法的正确保证是准确求解出参数的 限制范围. 使用参数法时,要特别注意参数的取值范围,就 需要根据参数的几何意义或自身限制给出参数范 围,当参数是一个变量或多个变量的函数时,这个变 量或这些变量的范围及变量表达参数时的关系式所 引出的参数范围限制都要考虑到位,准确求解出参 数的限制范围是应用参数法进行准确转化与正确求 解的保证. 3 . 使 用 参 数 法 的 核 心 主 体 是 使 用 参 数 建 立 关系. 参数法中所使用的参数通常题目并未给出,引 人的参数要么揭示变量之间的内在联系.要么改变 数量关系的结构,它在解题过程中起着联系已知与 未知、转化问题形式、替代复杂式子、充当待定因子 等作用.因此,求解过程往往就需要根据题目条件准 确列出等量关系,一般来 说 ,用 参 的 原 则 是 个 参 数必须列出 n + 1 个方程,当然使用时还要具体问题 具体分析,视情况而定,采取相对应的变形措施,如 应用“整体代换”、“设而不求”、“换元法”、“待定系数 法”法等等,这个过程是灵活的 .是应用参数法的 主体. 4 .使 用 参 数 法 的 终 极 目 标 是 消 去 参 数 完 成 求解. 除求轨迹的参数方程问题外.使用参数法要注 意原问题并非是关于参数的问题,参数并不是直接 研究的对象,它只起“桥梁”和转化作用•因此,求解 过程需要消去参数.也就是说.当求得间接解后,要 倒回去确定原问题的解,常见消参的方法有代人消 参 、三 角 恒 等 式 消 参 、代 数 恒 等 式 与 代 数 运 算 消 参等. 二、典型例题 例题 (2019年高考全国卷 n 第 21题 )已知点 八(一2,0),5(2,0),动点]^(〇',:>0 满 足 直 线 ^ 与 B M 的斜率之积为一 记 M 的轨迹为曲线 C . (1) 求 C 的方程,并 说 明 C 是什么曲线; (2) 过坐标原点的直线交 C 于 两 点 ,点 P 在第一象限,P E 丄 x 轴 ,垂 足 为 E ,连 结 Q E 交延长 交

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