2019年高考新课标Ⅲ卷文科数学压轴题多解探析(无全文)

作者:刘春红;高成龙 刊名:理科考试研究 上传者:

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【摘要】证明不等式的方法灵活多样;既可以从函数角度进行分析;也可以以几何背景入手探究.本文对于2019年高考新课标Ⅲ卷文科数学压轴题中的不等式题目;先给出命题组所提供的参考答案;然后给出本题多视角下的求证思路.

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-10 . 理科考试研究•数学版 2020年2月1日 2019年髙考新课标皿卷丈科数学压轴题多解探析 刘春红I高成龙$ (1.天津市第七中学 天津300143; 2.天津外国语学校 天津300143 ) 摘要:证明不等式的方法灵活多样,既可以从函数角度进行分析,也可以以几何背景入手探究.本文对于2019 年高考新课标m卷文科数学压轴题中的不等式题目,先给出命题组所提供的参考答案,然后给出本题多视角下的求证 思路. 关键词:函数;不等式;几何背景 1真题再现 题目(2019年新课标ID卷文)设x,y,z^R,且力 + y +z 二 1. (1) 求(x - 1 )2 + (y + 1)2 + (z + 1 )2 的最小值; (2) 若(x -2)2 + (y - I)2 + (z -a)2 成立,证 明:qW -3 或 aM - 1. 分析本题考查的内容是选修4-5中不等式选 讲部分,考点是常见的均值不等式和柯西不等式等. 采用分析法思考,若想得到题中不等式的最值,应先 变形凑成柯西不等式的结构特征,再根据已知条件添 上和为常数的各项,最后再由公式得出结论,重点考 查学生的化简运算能力和推理能力. 解析(l)x,y,zeR,且%+y+z = l,由柯西不 等式得,(I2 + I2 + I2) [ (—I)' + (y+1)2 + (z + 1)2]m(%-1 +y + l +z + l)2 =4. 所以仏-1)2 +(y + l)2 + (z + l)2 諾. 所以(% - 1 )2 + (y + 1 )2 + (z + 1 )2 的最力 (2)因为x+y+z=l,所以由柯西不等式可得, (I2 + I2 + I2) [ (% -2)2 + (y - 1 )2 + (z-q)2]m (兀-2+y-l + z - a)2 - (a +2)2. 所以(x — 2)2 +(y-1)~ + (z — a)2^ "。3― 所以(兀-2)2 + (y - 1)2 + (z - a)2的最小值 斗(a +2)2 为—3—• 由题意可得,(Q ;2)三 解得aW — 3或aM — 1. 2第(1)问思路探析 2. 1利用基本不等式证明 基本不等式在高考中占有非常重要的地位,特别 是求代数式和的最小值时应用较广•使用的关键是要 根据式子的特征灵活变形,配凑出符合题意要求的形 式.在教材习题中,我们常见的题目是已知%+y+z 为定值,然后求x2+y2+?的范围.因此本问可以将 兀-1 ,y + l,z + l看作一个整体,分别记作这 样一来就转化为我们比较熟悉的问题,再利用基本不 等式求解即可. 解法 1 令%1 二久 - 1』i 二y + 1 ,Z]二z + 1 ,贝lj 由 % + y+z 二 1 得兀]+ yx +Z]二2. 因为时 + 处工 2x1yl , Ji + zj M ,彳 + zj M 2x1zl,所以 +z: +"1 +xlzl. 因为® y 1 +Z] =2, 所以玮 +y\ +z: +2兀』]+2沪 +2xlz1 =4. 片口 4 - (%, 4-y)+zj) 所以%y +y|Z[ +xlz1 =------- -------- • 命 M 2.2 , 2.4 — (玮 + 时 +z“ 所以 %! +71 +Z] M---------- ----------- • 所以x] +71 +/工丰. 故(x - 1 )2 + (y + 1 )2 + (z + 1 )2的最小值为#・ 评注若兀1 +门+Z]

参考文献

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