关于平方凸函数的积分型Jensen不等式

作者:陈少元;宋振云 刊名:首都师范大学学报(自然科学版) 上传者:文玉忠

【摘要】基于平方凸函数的平方凸性,研究了离散形式的Jensen不等式,运用定积分的定义、Henie定理及复合函数极限运算,得到了平方凸函数的积分型Jensen不等式;利用平方凸函数的一个充要条件,建立了平方凸函数的积分型Jensen不等式的推广形式.

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0引言及结论关于平方凸函数,如下是众所周知的一个结果:设f(x)是IR+上的平方凸函数,xiI,及ti[0,1](i=1,2,,n),若ni=1ti=1,则fni=1tix2槡(i)槡i=n1ti(f(xi))2.(0.1)特别地,当t1=t2==tn=1n时,(0.1)式即为fni=11nx2(槡i)ni=11n(f(xi))槡2.(0.2)若f(x)是IR+上的平方凹函数,则不等式(0.1)、(0.2)中的不等号反向.通常称不等式(0.1)为平方凸函数的离散型Jensen不等式,简称为平方凸函数的Jensen型不等式,不等式(0.2)显然是不等式(0.1)的特殊情形,也称其为平方凸函数的Jensen型不等式.对于平方凸函数的研究,已取得一些成果(参见文献[1-6]).本文受文献[7,8]的启发,在先期研究的基础上,考虑对平方凸函数的离散型Jensen不等式的连续性推广,建立了Jensen不等式的积分形式,即平方凸函数的积分型Jensen不等式.主要结果如下:定理1(积分型Jensen不等式)设(t)是定义在[a,b]上的连续正值函数,f(x)是([a,b])上的可微平方凸函数,则f1b-aba((x))2d(槡x)1b-aba(f((x)))2d槡x.(0.3)若f(x)是([a,b])上的可微平方凹函数,则不等式(0.3)中的不等号反向.定理2(积分型Jensen不等式的推广形式)设(t)和(t)是定义在[a,b]上的连续正值函数,f(x)是([a,b])上的可微平方凸函数,则fba(x)((x))2dxba(x)d槡xba(x)(f((x)))2dxba(x)d槡x.(0.4)若f(x)是([a,b])上的可微平方凹函数,则不等式(0.4)中的不等号反向.1预备知识定义1.1[1]设IR+,若x,yI,[0,1],有槡x2+(1-)y2I,则称I为平方凸集.定义1.2[1-2]设IR+为平方凸集,f(x)是I上的正值函数,若x,yI,[0,1],有f[槡x2+(1-)y2][f(x)]2+(1-)[f(y)]槡2,(1.1)则称f(x)为I上的平方凸函数;若不等式(1.1)中的不等号反向,则称f(x)为I上的平方凹函数.引理设f(x)是区间I上的可导函数,则f(x)在区间I上为平方凸(凹)函数的充要条件是:x0,xI,有(f(x))2()f(x0)f'(x0)(x2-x20)x0+(f(x0))2,(1.2)证明仅证f(x)是平方凸函数的情形,同样的方法可证明f(x)为平方凹函数的情形.设f(x)是I上的平方凸函数,x0,xI,令=11+1(10为实数),则x20+(1-)x槡2=11+1x20+(1-11+1)x槡2=x2+1x201+槡1显然,x20+(1-)x槡2即为函数f(x)的曲线上的两点P(x,f(x))与P0(x0,f(x0))的坐标的平方为坐标的点P'(x2,(f(x))2)与P'0(x20,(f(x0))2)的定比为1的內分点的横坐标的12次方.当=0即1=0时,由定比分点的几何意义知,点P'与P0'重合,即点P与P0重合,所以,x=x0,f(x)=f(x0),由此知,当=0时,f(槡x2+(1-)x20)(f(x))2+(1-)(f(x0))槡2(f(x))2f(x0)f'(x0)(x2-x20)x0+(f(x0))2,即f(x)为区间I上的平方凸函数(f(x))2f(x0)f'(x0)(x2-x20)x0+(f(x0))2.当=1时,1-=0,将1-视作,结论显然也成立.当0,1时,1必要性.若f(x)是区间I上的平

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