带权点集Laguerre图的增量算法与软件设计研究

作者:张赋;李旭东 刊名:计算机工程与应用 上传者:岳秀娟

【摘要】Laguerre图作为Voronoi图的推广,在计算几何学、材料科学等领域中有着重要应用。重点讨论了带权点集Regular三角化的增量算法以及根据其对偶性质构造Laguerre图的实现过程;通过研究球填充带权点集对Laguerre图胞体结构特征的影响,在此基础上开发了用于参数化、自动化、可视化构造Laguerre图的软件;利用软件给出了多晶体材料与泡沫材料微结构仿真的应用实例,验证了软件的有效性。

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1引言Voronoi图、Laguerre图和Johnson-Mehl图作为随机几何学中的三种重要模型,在材料科学领域中有着重要应用[1-3]。三种模型对应的胞体几何结构、拓扑形貌与某些自然结构如多晶体材料、植物细胞、泡沫材料的微观组织结构十分相似,常作为材料微观组织结构仿真的几何模型。Voronoi模型的构造算法及应用研究已十分广泛,它采用欧氏距离来进行空间划分控制,即到两点的欧氏距离相等的集合构成单胞的一个面或边,其划分结果只受点集的空间位置分布影响。而在实际应用中,若需要获得与点权值状态相关的结构,则Voronoi图受到一定限制。对此Ima(i1985),Aurenhammer(1987)等人首次系统论述了Voronoi图的一种推广Laguerre图[4],通过对点集中各点赋予一个权值,并将点与点之间的欧氏距离度量改为幂距离度量,由此构造得到Laguerre图,也称为Power图。此后Lautensack对其性质进行了详细的数学论证[5]。国内吴壮志、怀进鹏等人对Power图的构造算法及性质也作了详细的研究[6]。本文以“Laguerre图构造算法-软件设计-材料仿真应用”为研究体系,详细讨论利用增量算法构造Laguerre图的实现过程及不同带权点集下Laguerre图的几何特征,并通过编写相应的程序,开发一套用于Laguerre图参数化构造、可视化演示的软件,实现材料微观组织结构的设计与表征,为材料微结构的计算机模拟提供基础性的工具。2Laguerre图已知d维空间中的点集P={(pii)|iI}RdR,点集P中无重点。规定两点的度量距离为幂距离L=d(xpi)2-i,则空间内到带权点Pi的幂距离小于到其他带权点的幂距离的点所组成的集合称为点Pi关联的Laguerre单胞,即C(pii)={xRd|d(xpi)2-d(xpj)2-j"(pjj)P}由所有带权点关联的Laguerre单胞构成的集合称为Laguerre图,如图1所示。本文主要讨论二维及三维且权值非负的Laguerre图。对于负权值,根据Laguerre单胞定义,将所有带权点加上点集中最大负权值的绝对值即可转为非负带权点集,而不会影响单胞特性。2.1算法实现本文利用带权点集的Regular三角化与Laguerre图互为对偶图的性质间接实现Laguerre图的构造,其中带权点集的Regular三角化为Laguerre图构造算法的核心。(1)带权点集的Regular三角化。带权点集Regular三角化是空间点集Delaunay三角化的推广,具有许多优良的性质[7-8]。点集三角化构造的主要范式为增量算法,分为两种方式:局部变换算法[9]和Bowyer/Waston[7,10]算法。本文采用Boywer/Waston增量算法对带权点集进行Regular三角化构造。将带权点集中由k+1个独立点构成的胞体称为k维单纯形。对由P1,P2,P3三点构成的2维单纯形,若存在一点O到三点的幂距离wO相等,则O称为单纯形的正交中心,如图2所示。若点集P中的其他所有点p到点O的幂距离都大于其权值wp,则此单纯形整体正则。将所有单纯形整体正则化即完成带权点集的Regular三角化。根据上述原理,采用逐点插入增量算法构造带权点集的Regular三角化分为三个主要过程:初始单纯形构造、冗余点判断和单纯形重组,以下进行分别阐述。对于d维情况,Regular三角为d维单纯形,即由d+1个带权点构成的凸胞。为了保证逐点插入增量算法的进行,需要设置一个初始d维单纯形,记做S0,其d+1个权值点为P-dP-d+1P0

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